dla jakich wartości paramatru równanie ma rozwiązanie

[gerla]

Podaj dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie ma rozwiązanie:

\(\displaystyle{ a) sin2x = \frac{m - 1}{m + 2}}\)

\(\displaystyle{ b) mcosx = 3m - 2}\)

\(\displaystyle{ c) cos3x + cos( \frac{2}{3} \pi - 3x) = m}\)

[Crizz]

\(\displaystyle{ \wedge_{t} -1 \le sint \le 1}\)
\(\displaystyle{ \wedge_{t} -1 \le cost \le 1}\)

Stąd np. w punkcie a) równanie ma rozwiązanie, gdy:
\(\displaystyle{ -1 \le \frac{m-1}{m+2} \le 1}\)

Lewa nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{m-1}{m+2} \ge -1, m \neq -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{m-1}{m+2}+1 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{m-1+m+2}{m+2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (m+2)(m-1+m+2) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 2(m+2)\left(m+\frac{1}{2}\right) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ m \in \left(-\infty,-2\right) \cup \left<-\frac{1}{2},+\infty\right)}\)

Prawa nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{m-1}{m+2} \le 1, m \neq -2}\)
\(\displaystyle{ \frac{m-1}{m+2}-1 \le 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{m-1-m-2}{m+2} \le 0}\)
\(\displaystyle{ -\frac{3}{m+2} \le 0}\)
\(\displaystyle{ -3(m+2) \le 0}\)
\(\displaystyle{ m+2 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ m > -2}\)

Ostatecznie \(\displaystyle{ m \in \left<-\frac{1}{2},+\infty\right)}\)