wyznacz zbiór wartości funkcji

[gerla]

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonych wzorem:

\(\displaystyle{ a) y = 2sinx - 1}\)

\(\displaystyle{ b) y = sinx + cosx}\)

\(\displaystyle{ c) y = sin ^{4}x +cos ^{4}x}\)

\(\displaystyle{ d) y = 3 - 2cos2x}\)

\(\displaystyle{ e) y = 2 - 3cos \frac{x}{2}}\)

\(\displaystyle{ f) y = 4 + \left|sin(3x) \right|}\)

[r4fall]

a) \(\displaystyle{ y\in [-3,1]}\)

b) \(\displaystyle{ y\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]}\)

c) \(\displaystyle{ y\in [0,1]}\)

d) \(\displaystyle{ y\in [1,5]}\)

e) \(\displaystyle{ y\in [-1,5]}\)

f) \(\displaystyle{ y\in [4,5]}\)

[Smażony Ogórek]

d) [1,5]

u kolegi e zamiast d i f zamiast e

edit: już ok

[gerla]

a dlaczego w punkcie b wyjdzie \(\displaystyle{ [ -\sqrt{2} ; \sqrt{2} ] ?.}\)

[Smażony Ogórek]

możesz to zapisać jako:

\(\displaystyle{ \sqrt{2}( \frac{ \sqrt{2} }{2}sinx + \frac{ \sqrt{2} }{2} cosx)}\)

i teraz zauważ że zamiast pierwszego \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) możesz podstawić \(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{4}}\) a zamiast drugiego \(\displaystyle{ sin \frac{\pi}{4}}\)

i zastosować wzór na \(\displaystyle{ sin(x+y)}\) otrzymując \(\displaystyle{ \sqrt{2} sin( \frac{\pi}{4}+x)}\)

a jako że wartości sinusa zawierają się w przedziale \(\displaystyle{ [-1;1]}\) to iloczyn zawiera się w przedziale \(\displaystyle{ [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]}\)

[gerla]

ok. To i resztę już zrozumiałam, ale nadal nie wiem jak trzeba rozpisać to:

\(\displaystyle{ y = sin ^{4}x + cos ^{4}x}\)

żeby wyszło to:

\(\displaystyle{ y \in [0,1]}\)

[Smażony Ogórek]

a wyjdzie tak? bo coś mi się nie widzi, żeby to dla jakiegoś \(\displaystyle{ x}\) przyjmowało wartość \(\displaystyle{ 0}\)

[gerla]

no właśnie nie wiem wogóle jak to zrobić i jak to wyjdzie..

[Smażony Ogórek]

A próbowałeś to przekształcać, korzystając z jedynki trygonometrycznej?-- 8 lutego 2010, 23:23 --Dobra mam prawdziwy jest wzór

\(\displaystyle{ (sin ^{2}x+cos ^{2}x) ^{2}=sin ^{4}x+ cos^{4}x+2sin ^{2}xcos ^{2} x}\)

więc podstawiając jedynkę trygonometryczną

\(\displaystyle{ sin ^{4}x+ cos^{4}x= 1 - 2sin ^{2}xcos ^{2}x=1- \frac{1}{2}(4sin ^{2}xcos ^{2}x)=1- \frac{1}{2}(2sinxcosx) ^{2}=1- \frac{1}{2}(sin2x) ^{2}}\)

i teraz masz

\(\displaystyle{ sin2x \in [-1;1]}\)

\(\displaystyle{ (sin2x) \in [0;1]}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (sin2x) \in [0; \frac{1}{2}]}\)

\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{2}(sin2x) \in [ \frac{1}{2};1]}\)