sprawdź tozsamość

[martle]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest miarą kąta ostrego, sprawdź, czy podana równość jest tożsamością:

\(\displaystyle{ 1-2sin ^{2} \alpha = \frac{1-tg ^{2} \alpha }{1+tg ^{2} \alpha }}\)

[piasek101]

Na prawej zamień tangensy na iloraz odpowiednich funkcji, dodaj (odejmij) w mianowniku i liczniku, poskracaj.

Na lewej rozpisz jedynkę (z trygonometrycznej).

[hubertwojtowicz]

\(\displaystyle{ L= \frac{ \frac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos^2\alpha} }{ \frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{cos^2\alpha} }=cos^2\alpha-sin^2\alpha}\)
\(\displaystyle{ P=1-2sin ^{2}=sin^2\alpha+cos^2\alpha-2sin ^{2}\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha}\)
L=P

[miodziu]

\(\displaystyle{ \frac{1-tg ^{2} \alpha }{1+tg^{2}\alpha} = \frac{1-\frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}}{1+\frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}} = \frac{\frac{cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha}}{\frac{cos^{2} \alpha + sin^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha}} = \frac{cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha + sin^{2} \alpha} = \frac{cos^{2} \alpha + sin^{2} \alpha - sin^{2} \alpha - sin^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha + sin^{2} \alpha} =\frac{1 - 2sin^{2} \alpha}{1} = 1 - 2sin^{2} \alpha}\)