f min i f max...

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 6 lut 2010, o 21:29

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ y=x-\tg x}\) w przedziale \(\displaystyle{ \langle -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \rangle}\)

hubertwojtowicz · Post autor: **hubertwojtowicz** » 6 lut 2010, o 21:49

Policz pochodną i przyrównaj do zera. Więcej tutaj:
Patrz:Warunek konieczny ekstremum lokalnego (twierdzenie Fermata)

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 6 lut 2010, o 21:59

\(\displaystyle{ y'=1-\frac{1}{\cos^{2}x}=\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}=0 \Leftrightarrow sin^{2}x=0 \Rightarrow \\
x=k \pi;k \in \mathbb{Z}}\)
Czy dobrze?

hubertwojtowicz · Post autor: **hubertwojtowicz** » 6 lut 2010, o 22:09

Błędów nie ma jak do tej pory. Zastanów się jeszcze, bo to jest warunek konieczny istnienia ekstremum w \(\displaystyle{ x=k \pi}\), ale czy ono tam jest?

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 6 lut 2010, o 22:26

No tak, WWE:
\(\displaystyle{ y'>0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}-[k \pi]\\
y'<0 \Leftrightarrow x \in \emptyset}\)
Z tego wynika, że funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie i posiada punkty przegięcia dla \(\displaystyle{ x=k \pi}\), czy dobrze rozumiem?

hubertwojtowicz · Post autor: **hubertwojtowicz** » 6 lut 2010, o 23:58

A jednak był błąd
[x+-+Tan[x]%2C+{x%2C+-1%2F4+Pi%2C+1%2F4+Pi}]
(*): \(\displaystyle{ x \in [-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]}\)
\(\displaystyle{ f(x)=x-tg x}\), zatem
\(\displaystyle{ f'(x)=1- \frac{1}{cos^2x}=\frac{cos^2x-1}{cos^2x}=-\frac{(1-cos^2x)}{cos^2x}=-\frac{sin^2x}{cos^2x}=-tg^2 x}\) (nie zauważyłem tego )

Pochodna funkcji\(\displaystyle{ f(x)}\)dla danego \(\displaystyle{ x_0}\) daje nam współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,f(x_0))}\). Skoro \(\displaystyle{ f'(x)=-tg^2 x}\) w przedziale (*) ma znaki ujemne (\(\displaystyle{ tg^2 x}\) ma dodatnie), to funkcja f(x) jest nierosnąca w przedziale (*). Skoro jest nierosnąca, a jej pochodna przyrównana do zera daje nam wynik w oczekiwanym przedziale (*), to funkcja w tym punkcie jest nieciągła, albo posiada tam punkt przegięcia (w naszym wypadku to drugie).
Skoro funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest nierosnąca i \(\displaystyle{ f( -\frac{\pi}{4} )>f( \frac{\pi}{4} )}\), to maksimum mamy w \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}}\) , zaś minimum w \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}\).
Pozdrawiam H.W.