Wyznacz zbiór wartości funkcji.

[s-e-b]

Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x) = sin^{2}x - sinx}\). Proszę o wyjaśnienie.

[zati61]

znajdź ekstrema lokalne
\(\displaystyle{ Zw=<minimumlok. ;maximum lok.>}\)

[s-e-b]

A w jaki sposób to zrobić?

[zati61]

napisałem znajdz extrema, jak nie wiesz to wroc do ksiazki i zajrzyj do tematu: ekstrema

[mycha-mycha1]

ale tego nie ma w wymaganiach matury rozszerzonej
podasz inna propozycję?

[zati61]

no tak zapomnialem ze w liceum juz niczego nie ucza...
To czego nas lekka meczarnia- duzo przeksztalcen.
musimy doprowadzic ta funkcje do postaci \(\displaystyle{ asin(bx+c) \vee acos(bx+c)}\)
gdzie a,b,c to beda jakies liczby. wtedy zbior wartosci bedzie od \(\displaystyle{ <-a;a>}\)

niestety w tym przypadku jest troche trudniej(przynajmniej na nie doszedlem do tej postaci). Zrobmy wiec jeszcze inaczej:
\(\displaystyle{ sinx=t(t \in <-1;1>)\\
f(t)=t^2-t\\
f(t_{min})= - \frac{1}{4}\\
sinx_{min}= - \frac{1}{4} \Rightarrow x_{min}= arcsin \frac{-1}{4}}\)
Dobra mamy wartość najmniejszą, teraz trzeba znaleźdź jakość wartość największą.

edit1
można nieelegancko i nieładnie:
\(\displaystyle{ f(x)=sin^2x-sinx=sin(x)(sin(x)-1)}\)
Zastanówmy się nad ostatnią postacią.
Jeśli obierzemy przedział(3 ćwiartka): \(\displaystyle{ \pi; \frac{3}{2} \pi>}\) to w tym przedziale \(\displaystyle{ sin(x)}\) będzie ujemne(i będzie malało do -1), a \(\displaystyle{ sin(x)-1}\) będzie też ujemne i będzie malało do -2. Teraz możemy na 2 sposoby:

1) Jako, że \(\displaystyle{ -1 \le sin(x) \le 1}\) to widać, że \(\displaystyle{ (sin(x)-1)}\) jest najmniejsze, gdy \(\displaystyle{ sin(x)=-1 \Rightarrow sin(x)-1= -2 \Rightarrow sin(x)(sin(x)-1)= 2}\)
Teraz, żeby potwierdzić nasze przypuszczenia, trzeba by było je dowieść. No to pokażemy, że:
\(\displaystyle{ sin^2x-sinx \le 2\\
sinx=t(t \in <-1;1>\\
t^2-t-2 \le 0}\)
A to jest prawda.
Ale trzeba jeszcze dowieść, że : \(\displaystyle{ sin^2x-sinx \ge 2}\) jest nieprawdziwe dla dowolnego 'x'. ale to równie szybko idzie jak poprzednie.

2) graficznie(zdecydowanie prościej)
rysujemy funkcje \(\displaystyle{ sin(x)}\) oraz \(\displaystyle{ sin(x)-1}\)
i graficznie widać, że najmniejsze wartości(obie razem) mają w 3 ćwiartce(pomijamy już okres). A więc iloczyn dwóch ujemnych liczb jest dodatni, a w punkcie: \(\displaystyle{ x= \frac{3}{2} \pi}\) mamy nasze ("ekstrema"- najmniejsze wartości). podstawiając je do naszego równania funkcji f(x) dostajemy wartość największą.

Podsumowując:
\(\displaystyle{ arcsin( \frac{-1}{4} ) \le sin^2(x)-sin(x) \le 2}\)

ps. wiedziac co to pochodne i ekstremum zadanie jest do rozwiązania w 4 linijki

[mycha-mycha1]

nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ f(t _{min} )= -\frac{1}{4}}\)

[zati61]

\(\displaystyle{ t_{min}}\) to nic innego jak Xw, czyli argument wierzcholka funkcji kwadratowej
a \(\displaystyle{ f(t_{min}}\) to jest Yw, czyli wartosc wierzcholka funkcji

[xanowron]

Zadanie sprowadza się do podstawienia \(\displaystyle{ t=sinx}\) gdzie \(\displaystyle{ t \in <-1,1>}\) i odczytania zbioru wartości funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ f(t)=t^2-t}\) w zbiorze \(\displaystyle{ t \in <-1,1>}\)

Co do materiału w liceum, owszem jest bardzo ubogi, ale moim zdaniem takie rozwiązanie jest lepsze niż pałowanie pochodnymi od razu.

[mycha-mycha1]

być może
dzięki