dziedzina funkcji arc cos

Jahstina · Post autor: **Jahstina** » 6 lut 2010, o 17:58

hej potrzebuję pomocy przy takim zdanku:
wyznacz dziedzinę funkcji...

\(\displaystyle{ f(x) = arc cos (\frac{2x}{1-x})}\)

wiem, że najpierw trzeba zrobić tak: \(\displaystyle{ 1-x \neq}\) 0 czyli \(\displaystyle{ x \neq}\) 1, a potem całość z nawiasu \(\displaystyle{ \ge -1}\)
i adekwatnie całość z nawiasu \(\displaystyle{ \le 1}\)... ale no właśnie coś mi później nie wychodzi i zatrzymałam się w tym momencie... mogę prosić o radę? albo o wynik... bo może mi dobrze wyszło a nie wiem. z góry dziękuję

zati61 · Post autor: **zati61** » 6 lut 2010, o 18:00

wyrażenia wymierne były bodajże w 1 liceum(ew. 2).
Gdzie dokladnie masz problem w wyliczeniu: \(\displaystyle{ \frac{2x}{1-x} \ge -1}\)

Jahstina · Post autor: **Jahstina** » 6 lut 2010, o 18:11

mam problem w tym czy potem robię tak:
2x(1-x) \(\displaystyle{ \ge}\) -1 i potem przemnażam 2x z 1 i 2x z (-x)?
i wychodzi 2x-\(\displaystyle{ 2x^{2}}\) \(\displaystyle{ \ge}\) -1 i potem przenoszę wszystko na lewo i przyrównuję do zera i delta?
czy może 2x przyrównuję osobno i osobno przyrównuję nawias? wybaczcie, ale matematykę to ja sobie odpuściłam jakiś czas temu i teraz mam takie problemy z naprawdę prostymi sprawami i staram się wszystko nadrobić jakoś... bo jednak matematyka to przydatna rzecz

zati61 · Post autor: **zati61** » 6 lut 2010, o 18:58

zapomnij jaknajszybciej o tym poście, traktujmy, że nie istniał.

1. Zawsze sprowadzaj najpierw do wspólnego mianownika wyrażenia, czyli u nas:
\(\displaystyle{ \frac{2x}{1-x}+1= \frac{2x+1-x}{1-x} \ge 0}\)
2. Gdy już mamy jeden ułamek i po prawej stronie zero korzystamy z własności:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} (<; \le ;>; \ge )0 \Leftrightarrow ab((<; \le ;>; \ge )0}\)
(tu wybieramy dowolny przez nas zadany znak). Logicznie rzecz ujmujac chodzi o to, ze iloraz/iloczyn 2 liczb daje ten sam znak co ich iloczyn(iloraz 2 liczb dodatnich to liczba dodatnia, a iloczyn ich to tez l. dodatnia itp.). wiec:
\(\displaystyle{ (2x+1-x)(1-x) \ge 0 \Leftrightarrow (x+1)(x-1) \ge 0}\)
mamy tu nierówność kwadratową(rysunek prowizoryczny tej funkcji: tzn. miejsca zerowe i przebieg) i:
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ;-1> \cup (1; \infty )}\) + założenie uwzględniłem-- 6 lut 2010, o 18:58 --zapomnij jaknajszybciej o tym poście, traktujmy, że nie istniał.

1. Zawsze sprowadzaj najpierw do wspólnego mianownika wyrażenia, czyli u nas:
\(\displaystyle{ \frac{2x}{1-x}+1= \frac{2x+1-x}{1-x} \ge 0}\)
2. Gdy już mamy jeden ułamek i po prawej stronie zero korzystamy z własności:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} (<; \le ;>; \ge )0 \Leftrightarrow ab((<; \le ;>; \ge )0}\)
(tu wybieramy dowolny przez nas zadany znak). Logicznie rzecz ujmujac chodzi o to, ze iloraz/iloczyn 2 liczb daje ten sam znak co ich iloczyn(iloraz 2 liczb dodatnich to liczba dodatnia, a iloczyn ich to tez l. dodatnia itp.). wiec:
\(\displaystyle{ (2x+1-x)(1-x) \ge 0 \Leftrightarrow (x+1)(x-1) \ge 0}\)
mamy tu nierówność kwadratową(rysunek prowizoryczny tej funkcji: tzn. miejsca zerowe i przebieg) i:
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ;-1> \cup (1; \infty )}\) + założenie uwzględniłem

Jahstina · Post autor: **Jahstina** » 6 lut 2010, o 19:14

o kurde, dzięki wielkie...
faktycznie mnie zaćmiło totalnie...
wybacz ;p

a czy tam w drugim nawiasie na samym dole nie ma być przypadkiem (x+1)(1-x)\(\displaystyle{ \ge}\) 0
zamiast (x+1)(x-1) \(\displaystyle{ \ge}\) 0

zati61 · Post autor: **zati61** » 6 lut 2010, o 19:28

Tak pewnie, to zmieni też rozwiązanie. Ważne że wiesz juz o.c.b.

Jahstina · Post autor: **Jahstina** » 6 lut 2010, o 19:32

ok dzięki wielkie -- 7 lut 2010, o 13:15 --jeszcze jedno pytanko:
czy w przypadku f(x) = arc sin (x/x+1) postępujemy jak w przykładzie powyżej?
że najpierw x/x+1 \(\displaystyle{ \ge}\) -1 [analogicznie z x/x+1 \(\displaystyle{ le}\) 1
i potem przenosimy tą jedynkę na lewą stronę i zamieniamy ją na x+1/x+1 no i potem mnożymy licznik z mianownikiem i przyrównujemy do zera i z pierwszego wyrażenia wychodzi x=-1/2 i x=-1 a z drugiego x=0 i x=1 i przedział to będzie \(\displaystyle{ (- [infty, -1)}\) \(\displaystyle{ \cup}\) (-1/2 ,0) \(\displaystyle{ \cup}\) (1, \(\displaystyle{ + \infty )}\)

coś nie leży mi to wyznaczanie dziedziny :/ wychodzą braki z lo, jak nie podstawówki ;p

zati61 · Post autor: **zati61** » 7 lut 2010, o 18:30

1 dobrze masz miejsca zerowe, ale drugie...(

a z drugiego x=0 i x=1

)
przeciez mamy:\(\displaystyle{ \frac{-1}{x+1} \notin 0}\)

Jahstina · Post autor: **Jahstina** » 7 lut 2010, o 18:56

faktycznie, nie wiem jak ja na to spojrzałam, że x-sy mi się nie skróciły...
i z tego wyjdzie x=1 tak?
no i potem mam problem z tą osią, zaznaczam te punkty, które mi wyszły czyli: -1/2, -1, 1 i jak mam przeprowadzić przez to ten wykres? zawsze miałam z tym problem i co osoba to inny sposób i nie wiem tak naprawdę co i jak, czy patrzę na potęgi przy x, czy podstawiam pod x po kolei wartość z danego przedziału np \(\displaystyle{ - \infty}\) do -1 i tak analogicznie do każdego przedziału?

;p ta matematyka mnie wykończy... a niestety zmuszona jestem do nadrobienia tego wszystkiego.

zati61 · Post autor: **zati61** » 8 lut 2010, o 14:46

Poradnik Jak rysować wielomiany:
1. przekształcamy naszą postać wielomianu do postaci iloczynowej.
2. znajdujemy miejsca zerowe tego wielomianu.
3. zaznaczamy na osii OX miejsca zerowe.
4. Szkicujemy jako taki przebieg tego wielomianu:
a) Zaczynamy od prawej strony
- od góry gdy współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni
- od dołu -;;- jest ujemny.
b) gdy dochodzimy do miejsca zerowego:
Miejsce zerowe, z dwumianu \(\displaystyle{ (x-a)^n}\), gdzie a jest miejscem zerowym
- przecinamy os OX gdy n jest nieparzyste
- odbijamy "się" od osii gdy n jest parzyste.
5. patrzymy gdy wielomian jest dodatni, gdzie ujemny

przykład do 4. \(\displaystyle{ W(x)= -(x-2)^3(x+1)^2}\)
4.a) współczynnik jest ujemny bo: \(\displaystyle{ -(1x^3 \cdot 1x=-x^4)}\)
\(\displaystyle{ W(x)>0 \Leftrightarrow x \in (- \infty ; -1) \cup (-1;2)}\)

Jahstina · Post autor: **Jahstina** » 8 lut 2010, o 17:22

zati61, dzięki wielkie, życie stało się o wiele bardziej proste!