Dziedzina i zbiór wartości funkcji

[Elwircia88]

Hej moze ktos pomoc z takim zadankiem???

Okreslic dziedzine i zbiór wartosci funkcji f(x) = sin x · sin 2x · (tg x + ctg x).
Wykonac staranny wykres funkcji g(x) = f(x − Pi/4 ) + 1 i rozwiazac równanie g(x) = 0.
Posługujac sie sporzadzonym wykresem okreslic zbiór rozwiazan nierównosci g(x) większe bądź równe ­ 0.

Z góry dzięki!!!:)

[pablo1990]

Żeby określić dziedzinę trzeba spojrzeć co może nam przeszkadzać. Zauważamy, że mamy tg i ctg czyli inaczej zapisując sin/cos i cos/sin zatem mianowniki muszą być różne od zera. Trzeba więc rozwiązać równania cosx=0 i sinx=0 a otrzymane wyniki usunąć ze zbioru R. Otrzymamy dziedzinę \(\displaystyle{ x \neq \frac{k}{2} \pi}\) \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ k \in C}\).
Podstawiamy następnie \(\displaystyle{ tgx= \frac{sinx}{cosx}, ctgx= \frac{cosx}{sinx} , sin2x=2sinxcosx}\) i wymnażamy.

Otrzymujemy po skróceniu \(\displaystyle{ 2sin ^{3} x+2sinxcos ^{2} x}\)

Korzystając z jedynki tryg. zamieniamy \(\displaystyle{ cos ^{2} x=1-sin ^{2} x}\)

Wymnażamy i otrzymujemy \(\displaystyle{ 2sinx}\)

zbiór wartości to suma przedziałów \(\displaystyle{ (-2;0) \cup (0;2)}\) ponieważ usunięte są wartości dla argumentów usuniętych z dziedziny.



Co do wykresu to musisz narysować wykres 2sinx (tak jak sinx tylko bardziej wyciągnięty do góry), przesunąć go o pi/4 w prawo i o 1 do góry. I tam gdzie są argumenty usunięte z dziedziny musisz przerwać wykres i zostawić otwarte kółko.



Równanie g(x)=0:
\(\displaystyle{ 2sin(x- \frac{\pi}{4} ) +1=0}\)

\(\displaystyle{ sin(x- \frac{\pi}{4} ) =- \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin(x- \frac{\pi}{4} )=sin(- \frac{\pi}{6} ) \vee sin(x- \frac{\pi}{4} )=sin(- \frac{5\pi}{6} )}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{12}+ 2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{-7\pi}{12}+ 2k\pi}\) \(\displaystyle{ , k \in C}\)


A rozwiązanie nierówności to:
\(\displaystyle{ < \frac{\pi}{12} +2k\pi; \frac{17\pi}{12}+2k\pi>}\) \(\displaystyle{ ,k \in C}\)

Mam nadzieję, że chociaż trochę pomogłem