Gdzie robię błąd ?

[Rafal90gg]

Witam,

Przygotowuję się do egzaminu maturalnego z matematyki ( poziom rozszerzony), jestem na trygonometrii a konkretnie równaniach trygonometrycznych. Do nauki używam między innymi strony . Mam problem z zadaniami z funkcją cosinus.
Np.

Mam rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \sqrt{2}\cos 3x= -1}\)

Przenoszę pierwiastek na drugą stronę, usuwam niewymierność, nstępnie

Liczę \(\displaystyle{ x_{0} = -\frac{\pi}{4}}\)

Następnie ze wzorów:

\(\displaystyle{ 3x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \wedge 3x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi}\)

Co po uproszczenie wygląda tak :

\(\displaystyle{ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2}{3}k\pi \wedge x = \frac{\pi}{12} + \frac{2}{3}k\pi}\)

Na wyniki są inne, zresztą sami zobaczcie...

I teraz moja prośba, czy mógłby mi ktoś pokazać i wytłumaczyć gdzie robię błąd ??

[fivi91]

Jak na moje oko to znalazłeś rozwiązania dla \(\displaystyle{ cos3x= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) a nie \(\displaystyle{ cos3x= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\).

Skseruj sobie skądś lub narysuj wykresy poszczególnych funkcji i pracuj z nimi przy każdym zadaniu, dzięki nim można szybko sprawdzić czy nie robi się gdzieś błędu lub czy sie nie zapomniało o jakiś rozwiązaniach

P.S. znaczek \(\displaystyle{ \wedge}\) pozamieniaj na \(\displaystyle{ \vee}\) bo egzaminator ci tego nie przepuści

[Rafal90gg]

No tak znaczek pomyliłem

No właśnie nie wiem czy to nie jest to samo, tzn rozwiązanie które mi wyszło i rozwiązanie na stronie którą podałem. Przecież rozwiązania powtarzają się co jakiś okres, w tym przypadku 2/3 k \(\displaystyle{ \pi}\)

[Dudas]

Ale dla \(\displaystyle{ \frac {-\pi}{4}}\) cosinus jest dodatni a nie ujemny, a powinien być ujemny

[fivi91]

Okres nie ma tu nic do rzeczy. Oczywiście w pewnym momencie obydwa wykresy mogą osiągnąć to samo miejsce zerowe, ale nie pokrywają się.

To tak jakbyś miał dwa ciągi: 2,4,6,8... oraz 1,3,5,7... Dla obu z nich różnica/okres wynoszą 2, ale to kompletnie dwa różne ciągi.

Bądź inaczej: powiedz, ile musiałoby wynosić k, żeby \(\displaystyle{ x= \frac{1}{4} + \frac{2 \pi}{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\), osiągnęło to miejsce zerowe które wyliczyłeś ty, czyli \(\displaystyle{ \frac{- \pi}{12}}\)?
Nie znajdziesz takiego k.

Jeśli dalej tego nie widzisz, to narysuj sobie na kartce obydwa wykresy. Wtedy już powinno ci sie wszystko rozjaśnić.

[Rafal90gg]

No właśnie zastanawiam się czy te rozwiązania ( moje i to ze strony ) są w tym jednym ciągu

Ok, to w czym tkwi mój błąd ?? Coś widocznie źle rozumiem, bo rachunkowo wszystko ok, tylko nie wiem co -- 31 sty 2010, o 18:57 --Znacie jakiś program w którym można to sprawdzić ?

[fivi91]

Kliknij sobie na ten rysunek:
- kropkami niebieskimi oznaczyłam miejsca na osi OX, dla których wg twoich obliczeń funkcja cos3x przyjmuje wartość \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
- kropkami czerwonymi oznaczyłam miejsca na osi OX, dla których wg obliczeń z tamtej strony fukcja cos3x przyjmuje wartość \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Widać wyraźnie, że miejsca ta nie pokrywają się, więc nie wiem jak może ci wychodzić rachunkowo wszystko ok.

Chyba że po prostu nierozumiem tego, o czym mówisz/o co pytasz.

Twoje rozwiązanie to: \(\displaystyle{ [x= \frac{- \pi}{12}+\frac{2k \pi}{3} \vee x= \frac{\pi}{12}+\frac{2k \pi}{3}] \Leftrightarrow [x= \frac{- \pi}{12}+\frac{8k \pi}{12} \vee x= \frac{\pi}{12}+\frac{8k \pi}{12}]}\)
Ich rozwiązanie to: \(\displaystyle{ [x= \frac{- \pi}{4}+\frac{2k \pi}{3} \vee x= \frac{\pi}{4}+\frac{2k \pi}{3}] \Leftrightarrow [x= \frac{-3 \pi}{12}+\frac{8k \pi}{12} \vee x= \frac{3 \pi}{12}+\frac{8k \pi}{12}]}\)
Natomiast: \(\displaystyle{ [x= \frac{- \pi}{12}+\frac{8k \pi}{12} \vee x= \frac{\pi}{12}+\frac{8k \pi}{12}] \neq [x= \frac{-3 \pi}{12}+\frac{8k \pi}{12} \vee x= \frac{3 \pi}{12}+\frac{8k \pi}{12}]}\)

Teraz widzisz? Ich rozwiązanie i twoje rozwiązanie osiągają szukane miejsca w zupełnie różnych punktach, i nawet okres tu nic nie pomoże.

Pozdrawiam

[Rafal90gg]

Ok, dzięki masz rację. Teraz widzę ze się nie pokrywają xD

Rozwiązania zaczynają się różnić w momencie wyliczenia \(\displaystyle{ x_{0}}\).
Mi wychodzi :

\(\displaystyle{ x_{0} = - \frac{ \sqrt{2} }{2} = - ( \sphericalangle 45 ) = -(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{4}}\)

Tutaj muszę gdzieś błąd robić, dobrze to rozpisuję ??

[fivi91]

\(\displaystyle{ x _{0}=- \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
W tabelach szukasz, kiedy cosinus osiąga wartość \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i odnajdujesz, że dla \(\displaystyle{ \frac{ \pi}{4}}\) . Patrzysz na i dowiadujesz się z niego, ze skoro wynosi tyle dla \(\displaystyle{ \frac{ \pi}{4}}\), to dla \(\displaystyle{ - \frac{ \pi}{4}}\)także. Tylko że teraz (i tu chyba masz ten błąd) znalazłeś iksy dla \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) a nie \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\). Te iksy, dla których cosinus osiąga szukaną przez ciebie wartość znajdują się w miejsach \(\displaystyle{ x=\frac{3 \pi}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ x=\frac{ 5\pi}{4}}\), co także odczytujesz z wykresu (funkcje trygonometryczne są symetryczne, więc jak spojrzysz na \(\displaystyle{ \pi}\) to odmierzasz sobie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) w lewo, a w drugim przypadku \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) w prawo.) I wychodzi wynik.


EDIT:
Nie bardzo rozumiem, dlaczego tak to rozpisujesz. Błąd myślowy popełniasz chyba w miejscu gdy zapisujesz, że skoro kąt dla \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) wynosi 45, to kąt dla \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) wynosi -45 stopni. Kąt -45 stopni to jest chyba 315 stopni? Czyli jest to \(\displaystyle{ cos315=cos(360-45)=cos(-45)=cos(45)}\) i wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) a nie \(\displaystyle{ -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\). Wydaje mi się, że o to chodzi.

Teraz trafiłam? -- 31 sty 2010, o 23:10 --Wybacz, wykreśl z zapisu \(\displaystyle{ cos(-45)}\).

[Rafal90gg]

Skąd Ci wychodzą \(\displaystyle{ x=\frac{3 \pi}{4}}\) i \(\displaystyle{ x=\frac{ 5\pi}{4}}\) ??

Nie za bardzo łapię :/

Mogłabyś mi to rozpisać tak linijka po linijce?

\(\displaystyle{ \sqrt{2}\cos 3x= -1}\)

Bo w sumie wszystko jest ok dopóki w cosinusie nie ma ujemnych liczb. Wtedy się gubię.

To są te wzroy z których korzystam:

Równanie postaci sinx = a ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy założeniu, że a in [-1;1] :

* x = x0 + 2kπ
* lub x = π − x0 + 2kπ, gdzie k in mathbb{Z} i sinx0 = a


Równanie postaci cosx = a ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy założeniu, że a in [-1;1] :

* x = x0 + 2kπ
* lub x = − x0 + 2kπ, gdzie k in mathbb{Z} i cosx0 = a


Równanie postaci tgx = a ma nieskończenie wiele rozwiązań:

* x = x0 + kπ, gdzie k in mathbb{Z} i tgx0 = a


Równanie postaci ctgx = a ma nieskończenie wiele rozwiązań:

* x = x0 + kπ, gdzie k in mathbb{Z} i ctgx0 = a

Dzięki za dotychczasowe zainteresowanie i cierpliwość

[fivi91]

\(\displaystyle{ \sqrt{2}cos3x=-1 \\
cos3x= \frac{-1}{ \sqrt{2} }= \frac{- \sqrt{2} }{2}}\)
oznaczamy sobie \(\displaystyle{ 3x= \alpha}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{- \sqrt{2} }{2}}\)

W tablicach trygonometrycznych odnajdujesz, dla jakiego \(\displaystyle{ \alpha}\) cosinus osiąga wartość \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2} }{2}}\) i widzisz, że dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Patrzysz na wykres, do którego link dałam wcześniej i odnajdujesz, że tę samą wysokość, czyli \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2} }{2}}\), \(\displaystyle{ cos \alpha}\) ma także dla \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{4}}\). Mówisz, że w tym miejscu zaczynasz się gubić.

Kliknij sobie na ten . Kropki czerwone, to punkty, które własnie odnaleźliśmy, czyli \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2} }{2}}\) dla \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{4}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Potem wykres ciągnie się dalej i spada w wartości ujemne, a swoją minimalną wartość osiąga dla \(\displaystyle{ \pi}\), zaś maxymalną wartość osiągał wcześniej dla 0. Oznaczyłam te miejsca zielonymi kropkami. Jak już napisałam wcześniej, wykres w poszczególnych miejscach jest swoim lustrzanym odbiciem, np. dla wartości 0 i \(\displaystyle{ \pi}\) (odpowiednio 1 i -1) . Odmierz sobie pół pi w lewo, i pół pi w prawo od zielonej kropki przy pi. W ten sposób odnajdziesz \(\displaystyle{ \frac{- \sqrt{2} }{2}}\). Właśnie te miejsca zaznaczyłam niebieskimi kropkami.

A jeszcze inny sposób: odbij sobie w wyobraźni, względem osi OX, część wykresu między \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) a \(\displaystyle{ \frac {3\pi}{2}}\). Wychodzi Ci dokładnie taka sama krzywa, jak ta między \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\) a \(\displaystyle{ \frac {\pi}{2}}\). W ten sposób zauważysz lepiej tę symetryczność i jej skutki - bo skoro po odbiciu dla \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\) i \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{4}}\) wykres osiągnie wartość \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\), to bez odbicia osiągałby wartość \(\displaystyle{ -\frac {\sqrt{2}}{2}}\).

I jak?

[Rafal90gg]

Czyli teraz podstawiam za alfa 3x:

\(\displaystyle{ 3x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \vee 3x= \frac{5\pi}{4} + 2k\pi}\)

Co po uproszczeniu daje:

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{3}k\pi \vee x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2}{3}k\pi}\)

\(\displaystyle{ k \in C}\)

Tylko teraz czy,
\(\displaystyle{ x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2}{3}k\pi}\)
to jest to samo co
\(\displaystyle{ x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2}{3}k\pi}\) ( wynik ze stronki )

[fivi91]

Co do tamtego 3/4pi i 5/4pi - wybacz, faktycznie zapomniałam że cały czas liczyłam dla 3x, i nie podzieliłam tego przez 3, troche ci to mogło zamieszać.

A co do ostatniego pytania - tak, to jest to samo. Gdy podstawisz sobie dla \(\displaystyle{ x= \frac{5 \pi}{12}+ \frac{2}{3}k \pi}\) pod k \(\displaystyle{ k=-1}\) wtedy wyjdzie ci właśnie \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3}k\pi}\).

Pozdrawiam

[Rafal90gg]

OK, teraz wszystko jasne
Nareszcie XD
Dzięki za pomoc, oczywiście przyznałem "pomógł" - a raczej pomogła