Suma pierwiastków równania- może znajdzie zainteresowanie

[v_vizis]

Odświeżam temat, może teraz zadanie będzie cieszyć się zainteresowaniem
Oblicz sumę wszystkich pierwiastków równania: \(\displaystyle{ \sin 3x=\ctg \frac{25 \pi}{2}}\), które spełniają nierówność \(\displaystyle{ |x-5\pi| \le 5\pi}\)

Pozdrawiam;)
Z góry dziękuję.

[tometomek91]

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \ctg \frac{25 \pi}{2}=\ctg \left( 12 \pi+\frac{\pi}{2} \right) =0}\)
I skorzystaj ze wzoru:
\(\displaystyle{ \sin 3x=3\sin x-4\sin ^{3}x}\)
Dalej podstawienie, coś można wyciągnąć przed nawias i już łatwo.

[v_vizis]

Dziękuję tometomku91 Jeżeli możesz zapisz proszę to zadanie "krok po kroku", jak wyprowadziłeś wzór na sin3x?
Pozdrawiam.

[tometomek91]

\(\displaystyle{ \sin 3x=\sin (2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x=\\=(2\sin x\cos x)\cos x+(1-2\sin ^{2}x)\sin x=2\sin x\cos ^{2}x+\sin x-2\sin ^{3}x=\\=2\sin x(1-\sin ^{2}x)+\sin x-2\sin ^{3}x=2\sin x-2\sin ^{3}x+\sin x-2\sin ^{3}x=\\=3\sin x-4\sin ^{3}x}\)

[v_vizis]

Rozpisz proszę, jeśli możesz całe te zadanie.

[tometomek91]

\(\displaystyle{ |x-5\pi| \le 5\pi\\
x-5\pi \le 5\pi \vee x-5\pi \ge -5\pi\\
x \le 10\pi \vee x \ge 0 \Rightarrow \\
x \in [0;10]}\)
Wracając do równania:
\(\displaystyle{ 3\sin x-4\sin ^{3}x=0\\
-\sin x(4\sin ^{2}x-3)=0 \Rightarrow \\
\sin x=0 \vee \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \vee \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Wszystkie liczby spełniające to równanie są postaci:
\(\displaystyle{ x=k \pi \vee x=2k \pi +\frac{\pi}{3} \vee x=2k \pi -\frac{\pi}{3}}\)
A wszystkie, które należą do zbioru rozwiązań nierównośći, to:
\(\displaystyle{ x \in \left[0; \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6};\frac{7\pi}{6};\frac{11\pi}{6};\frac{13\pi}{6};\frac{17\pi}{6};\frac{19\pi}{6}\right]}\)
Ich suma: \(\displaystyle{ 9\pi}\)

[edit]
\(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\)

[v_vizis]

Dziękuję bardzo Pozdrawiam.

[Johny94]

Odświeżę stary temat, ale dlaczego nie możemy zapisać:
\(\displaystyle{ 3x=k \pi}\) bo przecież \(\displaystyle{ \sin3x=0}\)

[tometomek91]

możemy jasne

PPT

[Johny94]

No tak, ale w takim razie:
\(\displaystyle{ x= \frac{k \pi }{3}}\) czyli wynik otrzymam inny niż poprzednik