Dowód i nierówność

kraken · Post autor: **kraken** » 17 sty 2010, o 17:13

Udowodnij, że nierówność \(\displaystyle{ 2* \left|sinx \right| \ge \left|sin2x \right|}\) jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x \in R}\)

Bardzo proszę o pomoc. Nie wiem ja w ogóle zabrać się za to zadanie.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 17 sty 2010, o 17:17

Rozpisz prawą stronę.

Pozdrawiam,

kraken · Post autor: **kraken** » 17 sty 2010, o 17:47

\(\displaystyle{ sin2x=2sinx cosx}\) z jedynki trygonometrycznej dalej to chyba nie. ??

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 17 sty 2010, o 17:55

Nie. Dalej przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz wspólne czynniki.

Pozdrawiam.

kraken · Post autor: **kraken** » 17 sty 2010, o 18:01

\(\displaystyle{ 2*sinx(1-cosx) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 2*sinx \ge 0 \wedge cosx \le 1}\) tak?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 17 sty 2010, o 18:10

No mniej więcej, tylko trzeba to odpowiednio zapisać (implikacje \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) będą).

Pozdrawiam.

kraken · Post autor: **kraken** » 17 sty 2010, o 18:33

Tylko, że dla \(\displaystyle{ sinx \ge 0}\) to na pewno \(\displaystyle{ x \notin R}\), ale dla \(\displaystyle{ cosx \le 1}\) to już \(\displaystyle{ x \in R}\) jest prawdziwe. Więc jak to wykazać?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 17 sty 2010, o 18:43

Ale w oryginalnym zadaniu masz tam moduły przecież...

Cały sposób rozwiązania wygląda tak:

\(\displaystyle{ 2|sinx | \ge |sin2x |\ \Leftrightarrow \ 2|sinx|\ge 2|sinx||cosx|\ \Leftrightarrow 2|sinx|(1-|cosx|)\ge 0\ \Leftarrow \ |sinx|\ge 0\ \wedge\ |cosx|\le 1\ \Leftarrow \ x\in \mathbb{R}}\)

Aczkolwiek ładniej będzie wyglądać, jeśli to zapiszesz "od końca".

Pozdrawiam.