Równania trygonometryczne

[Urielek]

Witam przygotowuję się do matury i mam problem z kilkoma przykładami, nie wiem czy ja robię źle czy po prostu są błędy w odpowiedziach (prawdopodobnie to pierwsze). Może ktoś mi wytłumaczyć rozumowanie w tych przykładach:

1. \(\displaystyle{ \sin \frac{2}{5}x=0}\)
2. \(\displaystyle{ \tg^{2} \ x=1}\)
3. 2\(\displaystyle{ \cos \ x=-1}\)

Z góry dzięki

[Dasio11]

1. Wykres;
2. \(\displaystyle{ \tg x= \pm 1}\) + wykres;
3. podziel obustronnie przez 2 i wykres;

Takie zadania zawsze robi się z wykresu, tzn. bierze się wszystkie rozwiązania dla \(\displaystyle{ x}\)-ów w jednym okresie i rozciąga na wszystkie \(\displaystyle{ x}\)-y dodając \(\displaystyle{ +2k \pi}\) lub tym podobne.

[Adifek]

1.
\(\displaystyle{ sin \frac{2}{5}x=0}\)
\(\displaystyle{ sin \frac{2}{5} x=sin \pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{5}x=\pi + k\pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{5}{2}\pi + \frac{5}{2}k\pi}\)

-- 15 stycznia 2010, 18:41 --

2.
\(\displaystyle{ tg^{2}x=1}\)
\(\displaystyle{ tgx=1\quad \vee\quad tgx=-1}\)
\(\displaystyle{ tgx=tg \frac{\pi}{4}\quad \vee\quad tgx=tg(- \frac{\pi}{4} ) =tg \frac{3\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\pi\quad \vee\quad x=\frac{3\pi}{4}+k\pi}\)-- 15 stycznia 2010, 18:50 --3.
\(\displaystyle{ 2cosx=-1}\)
\(\displaystyle{ cosx=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cosx=cos \frac{2\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ x= \pm \frac{2\pi}{3}+2k\pi}\)


Wszędzie \(\displaystyle{ k \in C}\)

[Urielek]

Ok dzięki za 1 teraz zrozumiałem gdzie popełniłem błąd, a w drugim robiłem tak jak ty Adifek
ale w odpowiedziach jest: x=\(\displaystyle{ \frac{pi}{4}}\) +k\(\displaystyle{ \frac{pi}{2}}\) mam rozumieć że jest tam błąd? (kilka sie juz zdarzyło w tym zbiorze)

a i dlaczego tam jest \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)\(\displaystyle{ pi}\) w tym trzecim? Nie powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)?? (w odpowiedziach jest tak jak ty to zrobiles ale dlaczego?

[Adifek]

Nie, to jest dokładnie to samo. Po prostu ja to przedstawiłem jako koniunkcje dwóch rozwiązań, a tam to jest w jednym. Zwróć uwagę, że
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}+ \frac{\pi}{2}= \frac{3\pi}{4}}\)
Równania trygonometryczne mają czasem to do siebie, że dłużej sprawdza się rozwiązanie niż rozwiązuje -- 15 stycznia 2010, 19:04 --bo
\(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{3}= \frac{1}{2}}\)
a nie -0,5
\(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\)
traktuj jako
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{6}}\)

[Urielek]

Musiałem sie troche namyśleć żeby to zrozumieć ale w końcu załapałem, wielkie dzięki