wykaż, że zachodzi nierówność

[panrobo]

Zadanie

Funkcje
\(\displaystyle{ \[f(x) = \frac{{\sin x + tgx}}{{\cos x}}\]}\)

\(\displaystyle{ \[g(x) = \frac{{\sin x}}{{\sin x + 1}}\]}\)


określone są w zbiorze \(\displaystyle{ \[D = \{ x \in \mathbb{R}:x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{C}\} \]}\)

Wykaż, ze dla każdej liczby zachodzi nierówność \(\displaystyle{ f(a) \cdot g(a) \ge 0}\)

[tometomek91]

\(\displaystyle{ f(\alpha) \cdot g(\alpha)=\frac{\sin \alpha+\tg \alpha}{\cos \alpha}\cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha+1}=\frac{ \frac{\sin \alph\arccos \alpha+\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\cos \alpha}\cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha+1}=\\=\frac{\sin \alpha(\cos \alpha+1)}{\cos ^{2}\alpha}\cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha+1}=
\frac{\sin ^{2}\alpha(\cos \alpha+1)}{\cos ^{2}\alpha(\sin \alpha+1)}=\tg ^{2}\alpha\frac{(\cos \alpha+1)}{(\sin \alpha+1)}}\)
\(\displaystyle{ -1 \le \sin \alpha \le 1 \wedge -1 \le \cos \alpha \le 1 \Rightarrow \tg ^{2}\alpha\frac{(\cos \alpha+1)}{(\sin \alpha+1)} \ge 0}\)

[Dejlan]

Czy ktoś mógłby rozpisać skąd to przejście? \(\displaystyle{ \frac{\sin x+\tg x}{1}= \frac{\sin x+\sin x}{\cos x}}\).

-- 14 wrz 2013, o 22:26 --

Taki jest moj tok myślowy, poprawny?
\(\displaystyle{ \cos x=1 \Rightarrow \sin x+\tg x= \sin x+ \frac{\sin x}{1}}\)

[Gouranga]

ja bym to ugryzł trochę inaczej
\(\displaystyle{ f(a) \cdot g(a) \ge 0 \Rightarrow f(a) = 0 \vee g(a) = 0 \vee \text{ obie są tego samego znaku}\\
\\
f(x) = \frac{\sin{x} + \tg{x}}{\cos{x}} = \frac{\sin{x} + \frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\cos{x}} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} + \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} = \tg{x}\left(1 + \frac{1}{\cos{x}}\right)\\
\\
g(x) = \frac{\sin{x}}{\sin{x} + 1}\\
\\
\sin{x} + 1 \ge 0 \Rightarrow g(x) \ge 0 \Leftrightarrow \sin{x} \ge 0\\
\\
f(x)\cdot g(x) \ge 0 \Leftrightarrow h(x) = \tg{x}\left(1+\frac{1}{\cos{x}}\right)\cdot \sin{x} \ge 0\\
\\
x= 0 \Rightarrow h(x) = 0\\
x \in \left((0; \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow h(x) >0\\
x\in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \Rightarrow h(x) >0\\
x\in\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right) \Rightarrow h(x) >0\\
x\in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \Rightarrow h(x) >0}\)

te warunki na końcu to wystarczy z wykresu odczytać który z 3 czynników ma jaki znak
zwróć szczególną uwagę na czynnik
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{\cos{x}}}\)
będzie dodatni dla \(\displaystyle{ \cos{x} > 0}\), ujemny dla \(\displaystyle{ \cos{x} \in (-1;0)}\) i róny 0 dla \(\displaystyle{ \cos{x} = -1}\)