Rozwiąż równanie trygonometryczne

[arigo]

witam
bylbym wdzieczny jakby ktos pomogl mi rozwiazac nastepujace rownanie
sin(3x)+sin(x)=cos(3x)+cos(x)

rozpisuje sin i cos ze wzgledu na sume katow (2x+x) a nastepnie ze wzgledu na kat podwojny ale nie wychodzi mi nic sensownego :/

z gory dziekuje za pomoc

[Zlodiej]

Moze spróbuj tak:

sin(3x)+sin(x)=cos(3x)+cos(x)

W dziale wzory masz wzor na sume sin i cos stąd mamy:

2sin(2x)cos(x)=2cos(2x)cos(x)
zakładając ze cos(x)!=0 dzielimy obie strony przez cos(x) i 2
sin(2x)=cos(2x)

A to juz chyba powinno jakoś pojsc ...

[arigo]

wielkie dzieki za pomoc ))

nie w ta strone kombinowalem zamiast spajac to ja rozpisywalem i liczylem ze sie jakos poredukuje

pozdrawiam

[Skrzypu]

sin(3x)+sin(x)=cos(3x)+cos(x)

3sinx-4sin^3 x+sinx=4cos^3 x-3cosx+cosx

4sinx-4sin^3 x=4cos^3 x-2cosx

2sinx-2sin^3 x=2cos^3 x-cosx

2sinx-2sin^3 x=2cos^2 x*cosx-cosx

2sinx-2sin^3 x=cosx(2(1-sin^2 x)-1)

2sinx-2sin^3 x=cosx(2-2sin^2 x-1)

2sinx-2sin^3 x=cosx(1-2sin^2 x)

sinx(2-2sin^2 x)=cosx-2sin^2 x*cosx

sin^2 x(4-8sin^2 x+4sin^4 x)=cos^2 x-4sin^2 x*cos^2 x+4sin^4 x*cos^2 x

4sin^2 x(1-2sin^2 x+sin^4 x)=1-sin^2 x-4sin^2 x*(1-sin^2 x)+4sin^4 x*(1-sin^2 x)

4sin^2 x-8sin^4 x+4sin^6 x=1-sin^2 x-4sin^2 x+4sin^4 x+4sin^4 x-4sin^6 x

4sin^2 x-8sin^4 x+4sin^6 x=1-5sin^2 x+8sin^4 x-4sin^6 x

9sin^2 x-16sin^4 x+8sin^6 x=1

8sin^6 x-16sin^4 x+9sin^2 x-1=0

Niech sin^2 x=t

8t^3-16t^2+9t-1=0

16t^3-32t^2+18t-2=0

16t^3-32t^2+16t+2t-2=0

16t(t^2-2t+1)+2(t-1)=0

16t(t-1)^2+2(t-1)=0

(t-1)[(16t(t-1)+2]=0

(t-1)(16t^2-16t+2)=0

(t-1)(8t^2-8t+1)=0

(t-1)(8t^2-8t+1)=0

t=1 lub 8t^2-8t+1=0

sin^2 x=1 lub x e zbiór pusty

x=pi/2+kpi, k e C

[arigo]

wow
wielkie dzieki Skrzypu za poswiecony czas:)))
Twoje rozwiazanie pasuje do postaci wejsciowej wiec jest dobre ))
ale nie pasuje do tego co wyprowadzil Zlodiej stad wniosek ze nie mozna podzielic przez cos(x) (wg rozwiazan Skrzypu cos(x)=0 co jest prawda)

wiec teraz pytanie do bardziej doswiadczonych kolegow/kolezanek

da sie jakos ustrzec takich pomylek w obliczeniach i skracaniach??
bo niby skad na poczatku mamy wiedziec ze akurat x=pi/2 ??

[Skrzypu]

Da się, w przypadku rozwiązania Zlodieja przenosisz na jedną stronę wyłączasz cos przed nawias i w nawiasie zostaje coś tam do obliczenia i masz dwa rozwiązania cosx=0 lub coś tam w nawiasie=0

[arigo]

w tym konkretnym przypadku to wiem jak postapic

chodzilo mi o sformuowanie jakis ogolnych wnioskow co do unikania takich bledow.
czyzby jednym wnioskiem bylo nie skracac czynnikow gdzie wystepuje szukana niewiadoma ??

[arigo]

tak na marginesie
postapilem wg wskazowek Zlodiej'a

2sin(2x)cos(x)=2cos(2x)cos(x)
cos(x)*(sin(2x)-cos(2x))=0
cos(x)=0 v sin(2x)=cos(2x) // : cos(2x)
x=pi/2 + 2k*pi v tg(2x)=1
x=pi/2 + 2k*pi v tg(pi/4)=1
x=pi/2 + 2k*pi v 2x=pi/4
x=pi/2 + 2k*pi v x=pi/8 + k*pi

pierwsza czesc rozwiazania pokrywa sie z wynikami Skrzypu (sory nie wiem jak odmienic ) natomiast u niego nie wystepowala druga czesc wiec mam male pytanko ktore rozwiazanie jest w pelni poprawne

[Zlodiej]

Tutaj zapewne też nie można podzielić przez cos(2x)
Ale

sin(2x)-cos(2x)=0
2sin(x)cos(x)-1+sin^2(x)=0
sin(x)(2cos(x)+sin(x))=1 sin(x)=1 i sin(x)+2cos(x)=1
=> sin(x)=1 i cos(x)=0

[arigo]

tutaj akurat moglem podzielic przez cos(2x) i wyglada na to ze te rozwiazania sa porawne (dobrze ze WINE radzi sobie z varney math )


cos mi sie tutaj nie zgadza

sin(2x)-cos(2x)=0
2sin(x)cos(x)-1+sin^2(x)=0

z tego wynika ze:
-cos(2x) = -1 +sin^2(x)
imho dwojki Ci sie troszke pomieszaly ale sie nie dziwie kazdemu sie zdarza:)
dziekuje za zainteresowanie postem