końcowe rozwiązanie

[piwowarczyk85]

Witam wszystkich,

mam następujące równanie trygonometryczne:
\(\displaystyle{ 1+cosx+cos \frac{x}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ cosx+1 = -cos \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ cosx+1 = \sqrt{ \frac{1+cosx}{2} } / ^{2}}\)
\(\displaystyle{ cos ^{2}x+2cosx+1-( \frac{1+cosx}{2})=0 / \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ 2cos^{2}x + 3cosx + 1=0}\)

\(\displaystyle{ cosx=t \wedge t \in <-1;1>}\)

\(\displaystyle{ 2t^{2}+3t+1=0}\)

\(\displaystyle{ Delta=1 \Rightarrow t _{1} =-1 \vee t _{2} =- \frac{1}{2}}\)

Wracając do podstawienia otrzymuję:
\(\displaystyle{ cosx=-1}\)
\(\displaystyle{ x=\pi+2k\pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\)

\(\displaystyle{ cosx= -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \vee x=-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi}\)

Czy to jest ok??? Bo w odpowiedziach nie wiadomo czemu jest:
\(\displaystyle{ x=pi+2k\pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\)
oraz
\(\displaystyle{ x= \frac{4\pi}{3} + 4k\pi \vee x=-\frac{4\pi}{3} + 4k\pi}\)

[JankoS]

\(\displaystyle{ 1+cosx+cos \frac{x}{2}=1+2 \left(cos \frac{x}{2} \right)^2-1+cos \frac{x}{2}=2cos \frac{x}{2}(cos \frac{x}{2}+ \frac{1}2{}) = 0 \Leftrightarrow \left(cos \frac{x}{2}=0=cos \frac{\pi}{2} \ lub \ cos \frac{x}{2}=- \frac{1}{2} =cos \frac{2\pi}{3} \right).}\)
To po skończeniu daje odpowiedź taką jak w książce.

[piwowarczyk85]

No jest ok, ale powie mi w takim razie ktoś co w moim toku postępowania robię źle. Dlaczego wychodzi mi inny wynik?

Poza tym mam inne zadanie i tutaj też nie wiem jednej rzeczy:
\(\displaystyle{ sinx+ \sqrt{3}cosx=1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}cosx = 1-sinx / ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 3cos ^{2}x=1-2sinx+sin ^{2}x}\)
\(\displaystyle{ 3(1-sin ^{2}x)-1+2sinx-sin ^{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ 3-3sin^{2}x-1+2sinx-sin^{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ -4sin^{2}x+2sinx+2=0}\)
\(\displaystyle{ 2sin^{2}x-sinx-1=0}\)

\(\displaystyle{ sinx=t}\)

\(\displaystyle{ 2t^{2}-t-1=0}\)
\(\displaystyle{ Delta=9}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{Delta}=3}\)
\(\displaystyle{ t _{1} = - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ t _{2} = 1}\)

i wracając

\(\displaystyle{ sinx=1}\)
\(\displaystyle{ x=\pi+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ sinx=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{\pi}{6}+2k\pi \vee x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)

wydaje mi się że to wszystko jest ok ale nie wiadomo czemu w odpowiedziach nie ma:
\(\displaystyle{ x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)

[JankoS]

Co do ostatniego ("wydaje mi się że to wszystko jest ok ale nie wiadomo czemu w odpowiedziach nie ma:"): też nie wiem dlaczego nie ma.
Co do pierwszego. \(\displaystyle{ cosx=- \frac{1}{2}}\) - co łatwo sprawdzić przez podstawienie - nie jest pierwiastkiem równania. Kolega rozwiązywał je metodą starożytnych (podnoszenie do kwadratu), w której zbór rozwiązań równania końcowego nie jest równy zbiorowi rozwiązań równania wyjściowego. Przy stosowaniu takiego sposobu nalezy zawsze sprawdzać poprawność rozwiązania.