Wykaż tożsamość (tw. sinusów)
-
vipertomi
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 22 paź 2009, o 20:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żuromin
- Podziękował: 1 raz
Wykaż tożsamość (tw. sinusów)
Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) są kątami trójkąta, zaś a, b, c długościami odpowiednio boków to \(\displaystyle{ \frac{a+b}{c^{2}} = \frac{cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{sin \frac{\gamma}{2}}}\)
-
vipertomi
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 22 paź 2009, o 20:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żuromin
- Podziękował: 1 raz
Wykaż tożsamość (tw. sinusów)
właśnie od początku te zadanie jakoś mi nie pasowało. Mam je z pewnej kartki z zadaniami, więc może być źle przepisane po prostu. Przepraszam za problem i pozdrawiam.
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Wykaż tożsamość (tw. sinusów)
Być może powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c} = \frac{cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{sin \frac{\gamma}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c} = \frac{cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{sin \frac{\gamma}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}= \frac{b}{sin\beta} \Rightarrow a= \frac{bsin\alpha}{sin\beta}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{sin\beta}= \frac{c}{sin\gamma} \Rightarrow c= \frac{bsin\gamma}{sin\beta}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c}= \frac{\frac{bsin\alpha}{sin\beta}+b}{\frac{bsin\gamma}{sin\beta}}= \frac{\frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\beta}}{\frac{sin\gamma}{sin\beta}}= \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\gamma}= \frac{2sin \frac{\alpha+\beta}{2}cos \frac{\alpha-\beta}{2} }{sin(2 \cdot \frac{\gamma}{2} )}= \frac{2sin \frac{\alpha+\beta}{2}cos \frac{\alpha-\beta}{2} }{2sin\frac{\gamma}{2} cos \frac{\gamma}{2} }=\frac{sin \frac{\alpha+\beta}{2}cos \frac{\alpha-\beta}{2} }{sin\frac{\gamma}{2} cos (90^o-( \frac{\alpha+\beta}{2} )) }=\frac{sin \frac{\alpha+\beta}{2}cos \frac{\alpha-\beta}{2} }{sin\frac{\gamma}{2} sin \frac{\alpha+\beta}{2} }=\frac{cos \frac{\alpha-\beta}{2} }{sin\frac{\gamma}{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c} = \frac{cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{sin \frac{\gamma}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c} = \frac{cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{sin \frac{\gamma}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}= \frac{b}{sin\beta} \Rightarrow a= \frac{bsin\alpha}{sin\beta}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{sin\beta}= \frac{c}{sin\gamma} \Rightarrow c= \frac{bsin\gamma}{sin\beta}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c}= \frac{\frac{bsin\alpha}{sin\beta}+b}{\frac{bsin\gamma}{sin\beta}}= \frac{\frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\beta}}{\frac{sin\gamma}{sin\beta}}= \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\gamma}= \frac{2sin \frac{\alpha+\beta}{2}cos \frac{\alpha-\beta}{2} }{sin(2 \cdot \frac{\gamma}{2} )}= \frac{2sin \frac{\alpha+\beta}{2}cos \frac{\alpha-\beta}{2} }{2sin\frac{\gamma}{2} cos \frac{\gamma}{2} }=\frac{sin \frac{\alpha+\beta}{2}cos \frac{\alpha-\beta}{2} }{sin\frac{\gamma}{2} cos (90^o-( \frac{\alpha+\beta}{2} )) }=\frac{sin \frac{\alpha+\beta}{2}cos \frac{\alpha-\beta}{2} }{sin\frac{\gamma}{2} sin \frac{\alpha+\beta}{2} }=\frac{cos \frac{\alpha-\beta}{2} }{sin\frac{\gamma}{2} }}\)