Rozwiąż równanie

[Crews]

\(\displaystyle{ cos(4a) \cdot tg(2a) - sin(4a)= \frac{2tga}{tg ^{2}a-1 }}\)

[Wojtolino]

Ok, weźmy sobie \(\displaystyle{ 2a=b}\), lepiej mi będzie pisać.
\(\displaystyle{ \frac{2tga}{tg ^{2}a-1 }}\) możemy zapisać jako \(\displaystyle{ - \frac{tga+tga}{1-tga \cdot tga}}\), czyli \(\displaystyle{ -tg2a}\) (jest taki wzór \(\displaystyle{ \frac{tgx+tgy}{1-tgx \cdot tgy}=tg(x+y)}\), w szczególności dla x=y).
Zatem nasze równanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ cos2b \cdot \frac{sinb}{cosb}-sin2b+\frac{sinb}{cosb}=0}\).
Rozpisuję \(\displaystyle{ cos2b=cos ^{2}b- sin ^{2}b}\), oraz \(\displaystyle{ sin2b=2sinbcosb}\)
Po pomnożeniu obustronnie przez \(\displaystyle{ cosb}\) i rozpisaniu tych kątów 2b mamy:
\(\displaystyle{ sinb-sinbcos ^{2}b-sin ^{3}b=0}\)
\(\displaystyle{ sinb=0 \vee 1-(cos ^{2}b+sin ^{2}b)=0}\)
\(\displaystyle{ sin2a=0 \vee 1-1=0}\)
Więc zostaje tylko \(\displaystyle{ sin2a=0}\)
A rozpisać rozwiązania to już proste

[Crews]

Dzięki Wojtolino, a gdyby chodziło o sprawdzenie tożsamości ?

[Wojtolino]

Tożsamość by to była, gdyby każdy kąt a był rozwiązaniem, co jak widać nie zachodzi (bo \(\displaystyle{ sin2a=0}\)).