Cztery rownania trygonometryczne

Carl0s · Post autor: **Carl0s** » 25 cze 2006, o 23:30

1. Dla jakiego parametru alfa funkcja jest malejaca w zbiorze liczb rzeczywistych ??
\(\displaystyle{ f(x)=cos^{2}x+2\alpha x}\)

2. Wyznacz zbior wartosci funkcji f spelniajacej rownanie:
\(\displaystyle{ f(x)+(f(x))^{2}+(f(x))^{3}+...=sinx}\)

3. Dla jakich wartosci parametru m rownanie: \(\displaystyle{ cos(3x+1)=\frac{m^{2}-4}{2m+1}}\) nie ma rozwiazan ??

4. Podaj liczbe rozwiazan rownania: \(\displaystyle{ x=sinx+|sinx|}\)

Tristan · Post autor: **Tristan** » 25 cze 2006, o 23:50

3. Aby równanie miało rozwiązania musi zachodzić \(\displaystyle{ -1 \leq \cos(3x+1) \leq 1}\), czyli \(\displaystyle{ -1 \leq \frac{m^2-4}{2m+1} \leq 1}\). Aby więc równanie nie miało rozwiązań to: \(\displaystyle{ \frac{m^2-4}{2m+1} >1 \frac{m^2 - 4}{2m+1}

4. Wpierw rozpatrzmy przypadek, gdy \(\displaystyle{ \sin x q 0}\), czyli \(\displaystyle{ x , k \mathbb{C}}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ x=\ sin x + \sin x}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{x}{2}= \sin x}\) . Musi więc zachodzić \(\displaystyle{ 0 q \frac{x}{2} q 1}\), czyli \(\displaystyle{ x }\). Teraz wystarczy narysować sobie funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=\sin x}\) w przedziale \(\displaystyle{ }\) by odczytać, że mamy dwa rozwiązania. Rozpatrując przypadek, gdy \(\displaystyle{ \sin x}\)}\)

Carl0s · Post autor: **Carl0s** » 26 cze 2006, o 00:28

hmm...co do 3 to tez wpadlem na to ze ma byc >1 i ??:

Tristan · Post autor: **Tristan** » 26 cze 2006, o 00:43

Co do zadania trzieciego: pokaż jak rozwiązujesz te nierówności, a potem powiedz, jaka odpowiedź powinna wyjść.

2. Potraktujmy to co po lewej stronie jako szereg geometryczny, gdzie pierwszym wyrazem jest \(\displaystyle{ f(x)}\), a iloraz to \(\displaystyle{ f(x)}\), czyli musi zachodzić \(\displaystyle{ -1< f(x)}\).

Carl0s · Post autor: **Carl0s** » 26 cze 2006, o 01:11

\(\displaystyle{ \frac{m^{2}-4}{2m+1}>1/(2m+1)^2}\)
\(\displaystyle{ (m^{2}-4)(2m+1)>(2m+1)^2}\)
\(\displaystyle{ 2m^{3}+m^{2}-8m-4-4m^{2}-4m-1>0}\)
\(\displaystyle{ 2m^{3}-3m^{2}-12m-5>0}\)
to jest zle....ale nie wiem gdzie ??:

Tristan · Post autor: **Tristan** » 26 cze 2006, o 01:23

Po co wymnażasz te nawiasy?
\(\displaystyle{ (m^2 - 4)(2m+1)>(2m+1)^2}\)
\(\displaystyle{ (m^2 -4)(2m+1) - (2m+1)^2 >0}\)
\(\displaystyle{ (2m+1)[ m^2-4 -(2m+1)]>0}\)
\(\displaystyle{ 2(m+ \frac{1}{2})(m^2-2m-5)>0}\)
\(\displaystyle{ 2(m+\frac{1}{2})(m-1+ \sqrt{6})(m-1-\sqrt{6})>0}\)
\(\displaystyle{ m ( 1- \sqrt{6}; - \frac{1}{2}) \cup ( 1+ \sqrt{6}; )}\)
W ten sam sposób rozwiązujesz tą drugą nierówność.

1. Jeśli tylko znasz pochodne, to gdzie problem?

Carl0s · Post autor: **Carl0s** » 26 cze 2006, o 02:05

hmm...no wlasnie czyli:
\(\displaystyle{ f'(x)=2cosx(-sinx)+2a=-sin2x+2a}\)
\(\displaystyle{ -sin2x+2a=0}\)
\(\displaystyle{ sin2x=2a}\)
i co dalej??

teraz to sobie narysowalem i wyglada na to, ze ta funkcja maleje dla a

Tristan · Post autor: **Tristan** » 26 cze 2006, o 15:42

Wiedząc, że \(\displaystyle{ f'(x)=2a- \sin 2x}\), rozwiązujemy nierówność \(\displaystyle{ f'(x) ( - ; -\frac{1}{2})}\).

Carl0s · Post autor: **Carl0s** » 28 cze 2006, o 08:40

ale dla wiekszych liczb minusowych funkcja tez maleje...np. -1/4 ??:

juzef · Post autor: **juzef** » 28 cze 2006, o 09:19

Ale nie w całej dziedzinie.

Carl0s · Post autor: **Carl0s** » 28 cze 2006, o 10:06

aha..no tak...ale co sie dochodzi z przedostatniego do ostatniego przeksztalcenia??

Tristan · Post autor: **Tristan** » 28 cze 2006, o 15:20

Zauważ, że dla \(\displaystyle{ g(x)=\frac{ \sin 2x}{2}}\) zbiór wartości funkcji g \(\displaystyle{ ZW_{g}=}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a}\) ma być zawsze mniejsze od \(\displaystyle{ g(x)}\), więc \(\displaystyle{ a< -\frac{1}{2}}\).