Obliczenie sinusa różnicy kątów itd.

[marcin22]

Witam, mam problem z takim zadaniem:
1) Oblicz \(\displaystyle{ sin( \alpha-\beta)}\) gdy:

\(\displaystyle{ \alpha \in (\frac{\pi}{2};\pi), \beta \in (\frac{3\pi}{2};2\pi), sin\alpha = \frac{2}{3}, cos\beta=\frac{1}{3}}\)

Na razie doszedłem w tym tylko do postaci:

\(\displaystyle{ sin(\alpha-\beta)=\frac{2}{9}-sin\beta cos\alpha}\)

i nie wiem jak to dalej ruszyć. W odpowiedzi wychodzą jakieś kosmosy z pierwiastkami

2)Oblicz \(\displaystyle{ sin(2\alpha+\frac{5}{4}\pi)}\) gdy:

\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{2}{3}, \alpha\in(\pi;\frac{3\pi}{2})}\)

Tego nie mam pojęcia jak zrobić.

Jak gdyby ktoś mnie chociaż naprowadził byłbym wdzięczny.

[Dudas]

Wyliczamy \(\displaystyle{ cos \alpha}\) i \(\displaystyle{ sin \beta}\)
\(\displaystyle{ cos^2 \alpha = 1 - \frac {4}{9} = \frac {5}{9} \Rightarrow cos \alpha = - \sqrt {\frac {5}{9}}}\)
Pierwiastek ujemny bo jesteśmy w drugiej ćwiartce.
\(\displaystyle{ sin^2 \beta = 1 - \frac {1}{9} = \frac {8}{9} \Rightarrow sin \beta = - \sqrt {\frac {8}{9}}}\)
Pierwiastek ujemny bo jesteśmy teraz w czwartej ćwiarce.

Dalej podstawiamy do wzoru który już częściowo wypełniłeś i mamy wynik.

2) Skorzystaj z zależności \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac {sin \alpha}{cos \alpha}}\) i jedynki trygonometrycznej, wyliczysz sobie \(\displaystyle{ sin \alpha}\) i \(\displaystyle{ cos \alpha}\) (Pamiętaj o znakach w odpowiednich ćwiartkach. Później rozbij sinusa sumy na sumę iloczynów, sinus podwojonego kąta również ze wzoru, podstawisz i będziesz miał wynik

[marcin22]

Nie pomyślałem o tym policzeniu brakujących sinusów i cosinusów z jedynki. Nie było jednak to takie trudne jak myślałem

Dzięki serdeczne.