Witam,
Mam problem z kilkoma zadaniami odnośnie trygonometrii.
1
a) \(\displaystyle{ sin( \frac{\pi}{2}-x)+sin ^{2}x = 1}\)
Tutaj chciałem skorzystać ze wzoru na sumę sinusów, ale drugi czynnik jest podniesiony do kwadratu...
b) \(\displaystyle{ cos( \pi-\ x) + sin(x- \frac{\pi}{2}) = 2}\)
Tutaj w ogóle nie mam pojęcia- w programie liceum nie ma wzoru na \(\displaystyle{ sinx+cosy}\) o ile taki
istnieje.
c) \(\displaystyle{ ctgx-cosx=1-sinx}\)
d) \(\displaystyle{ cos^{2}x - cos^{2}1 = 0}\)
Tutaj znowu chciałem skorzystać ze wzoru na różnicę cosinusów, ale czynniki są podniesione do kwadratu. Ewentualnie chciałem podać w przybliżeniu cosinus jednego radiana, ale to z kolei wyjdzie niedokładnie bo byłbym zmuszony zaokrąglać...
Teraz nierówności
a) \(\displaystyle{ cos( \pi-\ x)cosx < - \frac{1}{4}}\)
b) \(\displaystyle{ sin( \frac{\pi}{2}-x) + cosx \ge \sqrt{3}}\)
Tylko prosiłbym- jeśli to możliwe- o rozwiązanie w oparciu o związki między funkcjami trygonometrycznymi na poziomie liceum.
Równania i nierówności trygonometryczne
-
matshadow
- Użytkownik
- Posty: 941
- Rejestracja: 17 gru 2007, o 21:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kingdom Hearts
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 222 razy
Równania i nierówności trygonometryczne
1a)
\(\displaystyle{ sin( \frac{\pi}{2}-x)+sin ^{2}x = 1 \Leftrightarrow \cos x=1-\sin^2x=\cos^2x\\
\cos x(\cos x-1)=0 \Leftrightarrow \cos x=0\vee \cos x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\Pi}{2}+k\Pi\vee x=2k\Pi\;(k\in Z)}\)
\(\displaystyle{ sin( \frac{\pi}{2}-x)+sin ^{2}x = 1 \Leftrightarrow \cos x=1-\sin^2x=\cos^2x\\
\cos x(\cos x-1)=0 \Leftrightarrow \cos x=0\vee \cos x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\Pi}{2}+k\Pi\vee x=2k\Pi\;(k\in Z)}\)
-
janjansen
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 26 lis 2009, o 20:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: xyzxyz
Równania i nierówności trygonometryczne
Dobra, udało mi się rozwiązać nierównośći.
\(\displaystyle{ cos(\pi-\ x) cosx < - \frac{1}{4}
-cosx \cdot cosx < - \frac{1}{4} / : (-1)}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}x > \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ t^2 - \frac{1}{4} > 0 \Leftrightarrow t=cosx}\)
\(\displaystyle{ (t - \frac{1}{2})(t + \frac{1}{2}) > 0}\)
\(\displaystyle{ cosx < - \frac{1}{2} \vee cosx > \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x \in (- \frac{\pi}{3} + 2k\pi\ , \frac{\pi}{3} + 2k\pi\ ) , k \in C \vee x \in ( \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\ , \frac{4\pi}{3} + 2k \pi\) , k \in C \Rightarrow x \in (- \frac{\pi}{3} + k\pi\ , \frac{\pi}{3} + k\pi\ ) , k \in C}\)
Czy ten tok rozumowania jest poprawny? Chodzi mi szczególnie o te przejścia z podstawieniem zmienej pomocniczej t.
Teraz już nieco zrozumiałem i zrobiłem wszystko poza c) i d) z 1 zad.
@matshadow : w c) w odpowiedziach podali inne rozwiązania - \(\displaystyle{ x _{1} = 1 + 2k\pi\ \vee x _{2} = \pi\ - 1 + 2k\pi\ \vee x _{3} = -1 + 2k\pi\ \vee x _{4}= \pi\ + 1 +2k\pi\ , k \in C}\)
\(\displaystyle{ cos(\pi-\ x) cosx < - \frac{1}{4}
-cosx \cdot cosx < - \frac{1}{4} / : (-1)}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}x > \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ t^2 - \frac{1}{4} > 0 \Leftrightarrow t=cosx}\)
\(\displaystyle{ (t - \frac{1}{2})(t + \frac{1}{2}) > 0}\)
\(\displaystyle{ cosx < - \frac{1}{2} \vee cosx > \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x \in (- \frac{\pi}{3} + 2k\pi\ , \frac{\pi}{3} + 2k\pi\ ) , k \in C \vee x \in ( \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\ , \frac{4\pi}{3} + 2k \pi\) , k \in C \Rightarrow x \in (- \frac{\pi}{3} + k\pi\ , \frac{\pi}{3} + k\pi\ ) , k \in C}\)
Czy ten tok rozumowania jest poprawny? Chodzi mi szczególnie o te przejścia z podstawieniem zmienej pomocniczej t.
Teraz już nieco zrozumiałem i zrobiłem wszystko poza c) i d) z 1 zad.
@matshadow : w c) w odpowiedziach podali inne rozwiązania - \(\displaystyle{ x _{1} = 1 + 2k\pi\ \vee x _{2} = \pi\ - 1 + 2k\pi\ \vee x _{3} = -1 + 2k\pi\ \vee x _{4}= \pi\ + 1 +2k\pi\ , k \in C}\)