Wartość jednej funkcji tryg. na podstawie innej

[cheox]

\(\displaystyle{ \tg x = -3}\) obliczyć \(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}}\)

[Dudas]

Najpierw wyznaczamy \(\displaystyle{ tg \frac {x}{2}}\)

\(\displaystyle{ tg(x) = -3 \\ tg(2 \frac{x}{2}) = -3 \\ \frac {2tg \frac {x}{2}}{1-tg^2 \frac{x}{2}} = -3 \Rightarrow \\
\Rightarrow tg \frac{x}{2} = \frac {1+ \sqrt{10}}{-3} \vee tg \frac {x}{2} = \frac {-1+\sqrt {10}}{3}}\)

Następnie z definicji wyznaczamy \(\displaystyle{ cos \frac {x}{2}}\)
\(\displaystyle{ tg \frac{x}{2} = \frac {sin \frac{x}{2}}{cos \frac {x}{2}} \\
cos \frac {x}{2} = \frac {sin \frac{x}{2}}{tg \frac {x}{2}}}\)

Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej :
\(\displaystyle{ sin^2 \frac {x}{2} + cos^2 \frac {x}{2} = 1 \\
sin^2 \frac {x}{2} + \frac {sin^2 \frac{x}{2}}{tg^2 \frac {x}{2}} = 1}\)

I rozpatrujemy teraz 2 przypadki :
\(\displaystyle{ tg \frac {x}{2} = \frac {1+ \sqrt{10}}{3} \Rightarrow \\
\Rightarrow (sin^2 \frac {x}{2})((1+ \sqrt {10})^2 + 9) - (1+ \sqrt {10})^2 = 0 \Rightarrow sin \frac {x}{2} = \pm \sqrt {\frac {(1+ \sqrt{10})^2}{(1+ \sqrt{10})^2+9}}}\)
Lub też
\(\displaystyle{ tg \frac {x}{2} = \frac {-1+ \sqrt{10}}{3} \Rightarrow \\
\Rightarrow (sin^2 \frac {x}{2})((-1+ \sqrt {10})^2 + 9) - (-1+ \sqrt {10})^2 = 0 \Rightarrow sin \frac {x}{2} = \pm \sqrt {\frac {(-1+ \sqrt{10})^2}{(-1+ \sqrt{10})^2+9}}}\)

EDIT : Błąd w rozwiązaniu równania kwadratowego, wyniki poprawione

[cheox]

w kwadratowym dalej jest błąd bo masz
\(\displaystyle{ tg \frac{x}{2} = \frac{ \sqrt{40}-2 }{-6} = \frac{\sqrt{10}-1}{-3}}\)
a drugi przypadek jest
\(\displaystyle{ tg \frac{x}{2} = \frac{- \sqrt{40}-2 }{-6} = \frac{\sqrt{10}+1}{3}}\)
ale mimo wszystko wielkie dzięki bo nie kminiłem jak rozwiązać to zadanie