równanie trygonometryczne

[askas]

Mam problem z określaniem przedziałów, np:

\(\displaystyle{ sin x = -1}\)
rozwiązaniem jest
a) \(\displaystyle{ x= - \frac{1}{2} \pi+ 2k \pi}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi+ 2k \pi}\)
czy
b) \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi+ 2k \pi}\)
i dlaczego?

Albo \(\displaystyle{ cos x = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Dlaczego w rozwiązaniu jest \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{6} + 2k \pi}\) i \(\displaystyle{ - \frac{5\pi}{6} + 2k \pi}\)
a nie \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3} + 2k \pi}\) i \(\displaystyle{ - \frac{2\pi}{3} + 2k \pi}\), skoro kąt 120 stopni, podobnie jak 150 stopni (\(\displaystyle{ \frac{5}{6} )}\) ) leży w trzeciej, ujemnej dla cosinusa ćwiartce? Mam to wszystko odczytać z wykresu?

[Dudas]

Zauważ że \(\displaystyle{ - \frac {1}{2}\pi + 2k\pi = \frac {3}{2} \pi}\) dla \(\displaystyle{ k=1}\) Dlatego nie musisz pisać tego drugiego wyniku. Zawsze wewnątrz okresu jest tylko jedno dane (dodatnie lub ujemne) ekstremum, 2 wartości różne od ekstremum i 2 lub 3 miejsca zerowe (zależy od fazy początkowej funkcji i tego czy przedziały są domknięte)

Wynik który podajesz (bez \(\displaystyle{ 2k\pi}\) zależy tylko i wyłącznie od dziedziny wewnątrz której operujesz.

Co do drugiego przykładu to wynikiem ogólnym będzie \(\displaystyle{ x =\frac {7}{6} \pi +2k\pi \vee x = - \frac{5}{6}\pi +2k\pi}\)

[askas]

Ok, dziękuję.
Skąd jednak rozwiązanie drugiego przykładu?

[Dudas]

Oh błąd oczywiście, teraz jest poprawione

[askas]

Widzisz, pytając o to, skąd takie rozwiązanie, nie miałam na celu wskazanie Twojego błędu, bo go nie dostrzegłam. Wciąż po prostu nie wiem, dlaczego jest tak, a nie inaczej

[Dudas]

Jeżeli cosinus ma jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ \alpha_1}\) to drugie rozwiązanie jest równe \(\displaystyle{ \alpha_2 = 2\pi - \alpha_1}\). Natomiast \(\displaystyle{ \alpha_1}\) możesz wyznaczyć z funkcji \(\displaystyle{ arc cos}\) lub w tym przypadku ze wzorów redukcyjnych
\(\displaystyle{ cos(x) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ cos(\pi -x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \pi-x = \frac {\pi}{6} \\ x = \frac{5\pi}{6}}\)