Wykaż,że poniższa równość nie jest tożsamością trygonometryczną.
\(\displaystyle{ cos4\alpha=4cos^{2}\alpha-3}\)
tożsamość trygonometryczna
-
rodzyn7773
- Użytkownik
- Posty: 1659
- Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 278 razy
tożsamość trygonometryczna
Ze wzoru Eulera można zapisać jakoś \(\displaystyle{ cos4 \alpha}\) jednak ja tego wzoru nie znam i spróbuję inaczej.
I sposób:
wystarczy znaleźć jeden argument dla którego równość nie jest spełniona np. \(\displaystyle{ \ alpha= \frac{\pi}{6}}\)
podejrzewam że nie o taki jednak chodzi sposób
II sposób
podstawmy: \(\displaystyle{ 2 \alpha=x}\) wtedy:
\(\displaystyle{ cos2x=4cos^{2} \frac{x}{2} -3}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ cos2x=cos^2x-sin^2x \\ cos^2 \frac{x}{2} = \frac{cosx+1}{2}}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2cos^2x-1=2cosx-1 \\cosx(cosx-1)=0}\)
Widzimy, że nie dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) równanie jest poprawne zatem nie dla każdego \(\displaystyle{ \alpha \in R}\) równanie jest poprawne.
I sposób:
wystarczy znaleźć jeden argument dla którego równość nie jest spełniona np. \(\displaystyle{ \ alpha= \frac{\pi}{6}}\)
podejrzewam że nie o taki jednak chodzi sposób
II sposób
podstawmy: \(\displaystyle{ 2 \alpha=x}\) wtedy:
\(\displaystyle{ cos2x=4cos^{2} \frac{x}{2} -3}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ cos2x=cos^2x-sin^2x \\ cos^2 \frac{x}{2} = \frac{cosx+1}{2}}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2cos^2x-1=2cosx-1 \\cosx(cosx-1)=0}\)
Widzimy, że nie dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) równanie jest poprawne zatem nie dla każdego \(\displaystyle{ \alpha \in R}\) równanie jest poprawne.