rownania tryg.

[Carl0s]

1.\(\displaystyle{ |sin3x|-|cos3x|=1}\)

2.Udowodnij, ze jezeli:
\(\displaystyle{ x+y=\frac{\pi}{4}}\)
to:
\(\displaystyle{ (1-ctgx)(1-ctgy)=2}\)

no tak...w drugim nawiasie ma byc minus a nie plus...

[jasny]

1. \(\displaystyle{ |sin3x|-|cos3x|=1/^{2}}\)
\(\displaystyle{ sin^23x-2|sin3xcos3x|+cos^23x=1}\)
\(\displaystyle{ 1-|2sin3xcos3x|=1}\)
\(\displaystyle{ 2sin3xcos3x=0}\)
\(\displaystyle{ sin6x=0}\)
\(\displaystyle{ 6x=k\pi}\), \(\displaystyle{ k\in C}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{k\pi}{6}}\), \(\displaystyle{ k\in C}\)

[juzef]

jasny, Twoje rozwiązanie leży już dla x=0.

[Lorek]

To 2 nie jest prawdą (przykład: \(\displaystyle{ x=y=\frac{\pi}{8}}\))

[jasny]

No tak, trzeba zrobić założenia...
\(\displaystyle{ |sin3x|-|cos3x|>0}\)
\(\displaystyle{ |sin3x|>|cos3x|}\)
Tu najlepiej narysować wykres, z którego widać, że \(\displaystyle{ 3x\in (\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{3\pi}{4}+k\pi)}\), \(\displaystyle{ k\in C}\).
A w równaniu wyszło \(\displaystyle{ 3x=\frac{k\pi}{2}}\), \(\displaystyle{ k\in C}\).
Z uwzględnieniem założenia \(\displaystyle{ 3x=\frac{\pi}{2}+k\pi}\), \(\displaystyle{ k\in C}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}}\), \(\displaystyle{ k\in C}\)
Jeśli chodzi o zadanie 2, to wydaje mi się, że któryś znak w treści jest niewłaściwy (albo + w drugim nawiasie, albo + w założeniu).

[juzef]

Nie trzeba się w żadne wykresy bawić. Widać chyba, że musi być |sin3x|=1 i cos3x=0. Wystarczy rozwiązać i wziąć część wspólną.

[Carl0s]

czli pierwsze rozwiazanie jasnego jest bledne..??skad sie wziely takie zalozenia?? cos nie kapuje tego przykladu...

[jasny]

Lewa strona musi być dodatnia, żeby podnieść do kwadratu. Rozwiązanie jest dobre, tylko trzeba dołożyć te założenia.

[juzef]

Pierwsze rozwiązanie jasnego jest prawie dobre. Najprostsze rozwiązanie będzie jednak polegało na przeniesieniu cosinusa na prawą stronę i sprawdzeniu przeciwdziedzin funkcji z obu stron równania. Będą miały dokładnie jeden punkt wspólny.

[Lorek]

2.
\(\displaystyle{ \large (1-\cot x)(1- \cot y)=1-\cot x - \cot y + \cot x \cot y=1-\frac{\sin(x+y)}{\sin x \sin y}+\frac{\cos x \cos y}{\sin x \sin y}=\\=\frac{\sin x \sin y - \sin \frac{\pi}{4}+\cos x \cos y}{\sin x \sin y}=\frac{cos(x-y)-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}[cos(x-y)-cos(x+y)]}=\frac{cos(x-y)-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}[cos(x-y)-\frac{\sqrt{2}}{2}]}=2}\)