a i b jako liczby wymierne

[Agu?91]

Przedstaw liczbę \(\displaystyle{ a=(\sin 60^{\circ}-2)^{-2}}\) w postaci \(\displaystyle{ a+b\sqrt{3}}\) , gdzie a,b są liczbami wymiernymi.

[bstq]

\(\displaystyle{ x=\left(\sin60^{\circ}-2\right)^{-2}=\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-2\right)^{2}}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-2\right)^{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)^{2}}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)^{2}}{\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-2\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)\right]^{2}}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)^{2}}{\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-2^{2}\right]^{2}}=\frac{\frac{3}{4}+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot2+4}{\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-2^{2}\right]^{2}}=\frac{4\frac{3}{4}}{\left(\frac{3}{4}-4\right)^{2}}+\sqrt{3}\cdot\frac{4}{\left(\frac{3}{4}-4\right)^{2}}}\)