obliczyć sin, gdy jest dany tg i przedział alfa

[magdagie]

Witam,
Mam takie zadanie i nie wiem jak się za niego wziąć. Proszę o wskazówki w rozwiązaniu.

Oblicz \(\displaystyle{ \sin(2\alpha-\frac{3\pi}{4})}\) jeśli \(\displaystyle{ \tg\alpha=-\frac{2}{3}}\) i \(\displaystyle{ \alpha \in (\frac{3\pi}{2},2\pi)}\)

Z góry dziękuję za pomoc

[BettyBoo]

Najpierw skorzystaj ze wzoru na sinus różnicy kątów, a potem skorzystaj z przedstawienia sinusa i cosinusa za pomocą tangensa:

\(\displaystyle{ \sin2x=\frac{2\sin x\cos x}{\sin^2x+\cos^2x}=\frac{2\tg x}{1+\tg^2x},\quad \cos2x=\frac{1-\tg^2x}{1+\tg^2x}}\)

Pozdrawiam.

[matshadow]

\(\displaystyle{ \sin(2\alpha-\frac{3\pi}{4})=\sin 2\alpha\cos\frac{3\pi}{4}-\sin\frac{3\pi}{4}\cos 2\alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin 2\alpha+ \cos 2\alpha)\\\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x} \Rightarrow \sin 2x=\frac{2}{\tan x+\cot x}=-\frac{12}{13}}\)
\(\displaystyle{ \tan\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha} \Rightarrow \cos 2\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{\tan \alpha}-1=\frac{5}{13}}\)
\(\displaystyle{ \sin(2\alpha-\frac{3\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin 2\alpha+ \cos 2\alpha)=-\frac{\sqrt{2}}{2}(-\frac{12}{13}+ \frac{5}{13})=-\frac{7\sqrt{2}}{26}}\)

[magdagie]

Dziękuję Wam bardzo za pomoc!