Równanie z sinusem i cosinusem do potęgi czternastej

[jarek4700]

Jest takie równanie : \(\displaystyle{ \sin ^{14}x + \cos ^{14}x = \frac{1}{64}}\).
Próbowałem to robić przez \(\displaystyle{ \sin ^{2}x = t}\) ale wyszedł niesymetryczny wielomian szóstego stopnia.
Podzieliłem go dwa razy przez t-0,5 ale wielomian czwartego stopnia który został też jest niesymetryczny. Sprawdziłem w programie że nie ma pierwiastków ale jak do tego dojść?
Wzory ogólne na czwarty stopień chyba nie wchodzą w grę bo coś mi się zdaje że tu o jakiś sprytny sposób chodzi..

[frej]

Znasz nierówność \(\displaystyle{ \left( \frac{x^7+y^7}{2} \right) \ge \left( \frac{x+y}{2} \right)^7}\)

[jarek4700]

Nie wiem skąd tą nierówność wziąłeś ale wynika z niej że \(\displaystyle{ sin^{14}x + cos ^{14}x \ge \frac{1}{64}}\)
Nie bardzo tylko wiem co ta informacja mi daje.

[M Ciesielski]

\(\displaystyle{ sin^{14}x = \left(sin^2x\right)^7}\)

[Nakahed90]

Zauważ, że równość w tej nierówność zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy x=y, czyli \(\displaystyle{ sin^2x=cos^2x}\). A to już jest łatwe do rozwiązania.

[jarek4700]

Pomyślałem nad tym zadaniem trochę i stwierdziłem że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=sin ^{14}x + cos ^{14}x}\)musi mieć minima lokalne tam gdzie funkcja \(\displaystyle{ g(x)=sin ^{14}x + cos ^{14}x - \frac{1}{64}}\) ma miejsca zerowe(czyli te, które mam znaleźć). Rozwiązałem więc równanie f`(x)=0 przy okazji znajdując także maksima(ale łatwo będzie je odrzucić).
Dobrze byłoby jeszcze wiedzieć skąd bierze się ta nierówność o której frej pisze.

[Dasio11]

I dołączam od razu pytanie, czy działa dla innych fajnych liczb, nie tylko dla 7 :]
I jakie są założenia dla \(\displaystyle{ x,y}\)?

[klaustrofob]

to jedna z wersji nierówności Jensena: \(\displaystyle{ \frac{x^n+y^n}{2}\ge (\frac{x+y}{2})^n}\) można to udowodnić indukcyjnie.

[Mariusz M]

Można podstawić

\(\displaystyle{ \cos{2x}=t\\
\sin^{2}{x}= \frac{1}{2}\left( 1-t\right)\\
\cos^{2}{x}= \frac{1}{2}\left( 1+t\right)}\)

Po wyciągnięciu t powinniśmy otrzymać równanie dwukwadratowe

Z tego co pamiętam Qń użył tego podstawienia w podobnym równaniu