W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych α i β spełniony jest warunek
\(\displaystyle{ sin \alpha + sinB}\) = \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)
Oblicz iloczyn cosinusów tych kątów.
Zaczęłam tak:
(rys: trójkąt prostokątny ; przyprostokątne x, y ; przeciwprostokątna z, kąty α i β)
\(\displaystyle{ \frac{x}{z}}\)= sinα
\(\displaystyle{ \frac{y}{z}}\)= sinβ
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{z}}\) = \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{z}}\) = cosα
\(\displaystyle{ \frac{x}{z}}\) = cosβ
\(\displaystyle{ \frac{xy}{ z^{2} }}\) = ?
dajcie jakąś podpowiedź;)
z góry dzięki, pozdrawiam
W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych α i β spełniony...
-
kasssienqa
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 1 gru 2009, o 11:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: opole
- Podziękował: 2 razy
-
mostostalek
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych α i β spełniony...
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta = \frac {\sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ wskazowki:}\)
\(\displaystyle{ \beta = 90^{o} - \alpha}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 90^{o} - \beta}\)
\(\displaystyle{ zatem:}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin (90^{o} - \alpha) = \frac {\sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z\ wlasnosci\ f.trygon:}\)
\(\displaystyle{ sin (90^{o} - \alpha) = \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ wiec:}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha = \frac {\sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ obie\ strony\ rownania\ podniesc\ do\ kwadratu:}\)
\(\displaystyle{ (\sin \alpha +\cos \alpha)^{2}=(\frac {\sqrt{5}}{2})^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac {5}{4}}\)
\(\displaystyle{ 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac {5}{4}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac {5}{4} - 1}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac {1}{4}/:2}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \alpha = \frac {1}{8}}\)
\(\displaystyle{ \sin (90^{o} - \beta) \cos \alpha = \frac {1}{8}}\)
\(\displaystyle{ z\ wlasnosci\ f.trygon:}\)
\(\displaystyle{ \sin (90^{o} - \beta) = \cos \beta}\)
\(\displaystyle{ zatem:}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta\cos \alpha = \frac {1}{8}}\)
\(\displaystyle{ pozdrawiam,\ Sylwia}\)
\(\displaystyle{ wskazowki:}\)
\(\displaystyle{ \beta = 90^{o} - \alpha}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 90^{o} - \beta}\)
\(\displaystyle{ zatem:}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin (90^{o} - \alpha) = \frac {\sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z\ wlasnosci\ f.trygon:}\)
\(\displaystyle{ sin (90^{o} - \alpha) = \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ wiec:}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha = \frac {\sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ obie\ strony\ rownania\ podniesc\ do\ kwadratu:}\)
\(\displaystyle{ (\sin \alpha +\cos \alpha)^{2}=(\frac {\sqrt{5}}{2})^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac {5}{4}}\)
\(\displaystyle{ 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac {5}{4}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac {5}{4} - 1}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac {1}{4}/:2}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \alpha = \frac {1}{8}}\)
\(\displaystyle{ \sin (90^{o} - \beta) \cos \alpha = \frac {1}{8}}\)
\(\displaystyle{ z\ wlasnosci\ f.trygon:}\)
\(\displaystyle{ \sin (90^{o} - \beta) = \cos \beta}\)
\(\displaystyle{ zatem:}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta\cos \alpha = \frac {1}{8}}\)
\(\displaystyle{ pozdrawiam,\ Sylwia}\)