W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin\beta = \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)
Oblicz iloczyn cosinusów tych kątów
przyjąłem sobie że:
\(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{a}{c}}\) i \(\displaystyle{ \sin\beta= \frac{b}{c}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)
i \(\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{b}{c}}\) i \(\displaystyle{ \cos\beta= \frac{a}{c}}\)
doprowadziłem do postaci \(\displaystyle{ \cos\alpha * \cos\beta = ( \frac{ \sqrt{5} }{2} - \frac{a}{c})*(\frac{ \sqrt{5} }{2} - \frac{b}{c} )}\)
ale chyba coś zabardzo zamotałem? proszę o pomoc
jak obliczyć iloczyn cosinusów?
-
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
jak obliczyć iloczyn cosinusów?
\(\displaystyle{ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{ \sqrt{5} }{2} \Rightarrow \frac{(a+b)^2}{c^2}=\frac{5}{4}}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a+b)^2}{c^2}=\frac{{a^2}+{b^2}+2ab}{c^2}=1+2\frac{ab}{c^2}}\)
\(\displaystyle{ \cos{\alpha} \cdot \cos{\beta}=\frac{ab}{c^2}}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a+b)^2}{c^2}=\frac{{a^2}+{b^2}+2ab}{c^2}=1+2\frac{ab}{c^2}}\)
\(\displaystyle{ \cos{\alpha} \cdot \cos{\beta}=\frac{ab}{c^2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 941
- Rejestracja: 17 gru 2007, o 21:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kingdom Hearts
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 222 razy
jak obliczyć iloczyn cosinusów?
\(\displaystyle{ (sin\alpha+sin\beta)^2=(cos\beta+cos\alpha)^2=\frac{5}{4}\\cos^2\beta+cos^2\alpha+2\cos\alpha\cos\beta=\frac{5}{4}\\2\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{4}\\\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{8}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
jak obliczyć iloczyn cosinusów?
Dzięki za pomoc
\(\displaystyle{ \cos^{2}\beta +\cos ^{2}\alpha = ( \frac{a}{c} )^{2} +( \frac{b}{c} ) ^{2} = \frac{a ^{2} +b ^{2} }{c ^{2} } = \frac{c ^{2} }{c ^{2} }= 1}\) i już wiem skąd i co się wzięło
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ \cos^{2}\beta +\cos ^{2}\alpha = ( \frac{a}{c} )^{2} +( \frac{b}{c} ) ^{2} = \frac{a ^{2} +b ^{2} }{c ^{2} } = \frac{c ^{2} }{c ^{2} }= 1}\) i już wiem skąd i co się wzięło
Pozdrawiam