suma pierwiastków równania

[Luuks]

Oblicz sumę pierwiastków równania \(\displaystyle{ \cos x=-0,7}\) należących do przedziału \(\displaystyle{ \left[0;6\pi\right]}\).

[BettyBoo]

Jeśli \(\displaystyle{ x_0}\) jest jednym z rozwiązań powyższego równania (załóżmy dla ułatwienia zapisu, że najmniejszym dodatnim) to wszystkie rozwiązania tego równania mają postać .......

a więc suma wszystkich rozwiązań z podanego przedziału jest równa.....

Pozdrawiam.

[Luuks]

eee...

\(\displaystyle{ cosx=-0,7 \Leftrightarrow x= \frac{3\pi}{4}+2k\pi \vee x=1 \frac{1\pi}{4}+2k\pi

k \in {0,1,2}}\)

Popodstawiałem możliwe wartości k do każdego równania, wypisałem wszystkie wyniki, zsumowałem je wszystkie i nie wyszedł mi wynik z odpowiedzi (\(\displaystyle{ 18\pi}\))

[BettyBoo]

Po pierwsze, źle rozwiązałeś równanie, bo \(\displaystyle{ -0.7}\) nie jest wartością cosinusa dla żadnego znanego kąta.

Po drugie, nawet jeśli posumujesz te błędne rozwiązania, to i tak powinieneś otrzymać poprawną odpowiedź

Rozwiązanie powinno wyglądać np tak:

\(\displaystyle{ cosx=-0,7 \Leftrightarrow x= x_0+2k\pi \vee x=-x_0+2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}}\).

Jeśli założymy dla wygody, że \(\displaystyle{ x_0}\) jest najmniejszym dodatnim rozwiązaniem tego równania, to \(\displaystyle{ x_0\in (\frac{\pi}{2},\pi)}\). Zatem dla podanego przedziału suma rozwiązań ma postać

\(\displaystyle{ x_0+(2\pi-x_0)+(x_0+2\pi)+(4\pi-x_0)+(x_0+4\pi)+(6\pi-x_0)=18\pi}\)

Pozdrawiam.

[Luuks]

Po pierwsze, źle rozwiązałeś równanie, bo \(\displaystyle{ -0.7}\) nie jest wartością cosinusa dla żadnego znanego kąta.

\(\displaystyle{ cos(90 ^{o} +45 ^{o} )= -\frac{\sqrt{2} }{2} \approx -0,7}\)


a rozwiązania odczytałem z wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=cosx}\)

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ cos(90 ^{o} +45 ^{o} )= -\frac{\sqrt{2} }{2} \approx -0,7}\)

A czy w Twoim zadaniu było gdzieś napisane, że to ma być MNIEJ WIĘCEJ \(\displaystyle{ -0.7}\)?

Pozdrawiam.