rozwiąż równanie dla przedziału \(\displaystyle{ (-\pi, \pi)}\)
\(\displaystyle{ 2\cos x-2\sin x\cos x-\sin x-1=0}\)
rozwiąż równanie
-
mycha-mycha1
- Użytkownik
- Posty: 318
- Rejestracja: 14 lis 2008, o 21:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 71 razy
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
rozwiąż równanie
Najprościej podstawić \(\displaystyle{ t=\tan{ \frac{x}{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sin{x}= \frac{2t}{1+t^2}}\)
\(\displaystyle{ \cos{x}= \frac{1-t^2}{1+t^2}}\)
\(\displaystyle{ 2\cos x-2\sin x\cos x-\sin x-1=0}\)
\(\displaystyle{ =2 \frac{1-t^2}{1+t^2}-2 \frac{2t \left(1-t^2 \right) }{ \left(1+t^2 \right) ^2}- \frac{2t}{1+t^2}- \frac{ \left( 1+t^2\right) ^2}{ \left(1+t^2 \right) ^2} =0}\)
\(\displaystyle{ 2 \left(1-t^2 \right) \left(1+t^2 \right)=-4t \left(1-t^2 \right) -2t \left(1+t^2 \right)- \left(1+2t^2+t^4 \right) =0}\)
\(\displaystyle{ =2-2t^4-4t+4t^3-2t-2t^3-1-2t^2-t^4=0}\)
\(\displaystyle{ =-3t^4+2t^3-2t^2-6t+1=0}\)
\(\displaystyle{ =3t^4-2t^3+2t^2+6t-1=0}\)
Zauważmy że
\(\displaystyle{ W \left( -1\right)=0}\)
\(\displaystyle{ 3t^4-2t^3+2t^2+6t-1= \left( x+1\right) \left(3x^3-5x^2+7x-1 \right)}\)
Dalej trzeba rozkładać tak jak podał Rogal w kompendium
\(\displaystyle{ 2\cos x-2\sin x\cos x-\sin x-1=0}\)
\(\displaystyle{ 2\cos{x} \left(1-\sin{x} \right)+ \left(1-\sin{x}\right)=2}\)
\(\displaystyle{ \left(1-\sin{x} \right) \left(2\cos{x}+1 \right)=2}\)
\(\displaystyle{ 2\left(\cos{x}+ \frac{1}{2} \right)\left(1-\sin{x} \right) =2}\)
\(\displaystyle{ \left(\cos{x}+ \frac{1}{2} \right)\left(1-\sin{x} \right) =1}\)
\(\displaystyle{ \cos{ \frac{3x-\pi}{6} }\cos{ \frac{3x+\pi}{6} }\cos^{2}{ \frac{2x+\pi}{4} }= \frac{1}{4}}\)
Chyba jednak lepiej będzie tego tangensa podstawić
\(\displaystyle{ \sin{x}= \frac{2t}{1+t^2}}\)
\(\displaystyle{ \cos{x}= \frac{1-t^2}{1+t^2}}\)
\(\displaystyle{ 2\cos x-2\sin x\cos x-\sin x-1=0}\)
\(\displaystyle{ =2 \frac{1-t^2}{1+t^2}-2 \frac{2t \left(1-t^2 \right) }{ \left(1+t^2 \right) ^2}- \frac{2t}{1+t^2}- \frac{ \left( 1+t^2\right) ^2}{ \left(1+t^2 \right) ^2} =0}\)
\(\displaystyle{ 2 \left(1-t^2 \right) \left(1+t^2 \right)=-4t \left(1-t^2 \right) -2t \left(1+t^2 \right)- \left(1+2t^2+t^4 \right) =0}\)
\(\displaystyle{ =2-2t^4-4t+4t^3-2t-2t^3-1-2t^2-t^4=0}\)
\(\displaystyle{ =-3t^4+2t^3-2t^2-6t+1=0}\)
\(\displaystyle{ =3t^4-2t^3+2t^2+6t-1=0}\)
Zauważmy że
\(\displaystyle{ W \left( -1\right)=0}\)
\(\displaystyle{ 3t^4-2t^3+2t^2+6t-1= \left( x+1\right) \left(3x^3-5x^2+7x-1 \right)}\)
Dalej trzeba rozkładać tak jak podał Rogal w kompendium
\(\displaystyle{ 2\cos x-2\sin x\cos x-\sin x-1=0}\)
\(\displaystyle{ 2\cos{x} \left(1-\sin{x} \right)+ \left(1-\sin{x}\right)=2}\)
\(\displaystyle{ \left(1-\sin{x} \right) \left(2\cos{x}+1 \right)=2}\)
\(\displaystyle{ 2\left(\cos{x}+ \frac{1}{2} \right)\left(1-\sin{x} \right) =2}\)
\(\displaystyle{ \left(\cos{x}+ \frac{1}{2} \right)\left(1-\sin{x} \right) =1}\)
\(\displaystyle{ \cos{ \frac{3x-\pi}{6} }\cos{ \frac{3x+\pi}{6} }\cos^{2}{ \frac{2x+\pi}{4} }= \frac{1}{4}}\)
Chyba jednak lepiej będzie tego tangensa podstawić