Sumy i róznice funkcji trygonometrycznych.Równania też :D

[janik]

Witajcie =]
Moja droga do matury rozszerzonej znajduje się teraz na trygonometrii - idzie mi świetnie ale jest pare zadań przy których potrzebuje pomocy - zaznaczam że zależy mi przede wszystkim na zrozumieniu tego, w jaki sposób się rozwiązuje poszczególne zadania

1. Sprawdz, czy prawdziwe są następujące tożsamości, podaj konieczne założenia.

a)\(\displaystyle{ \frac{1 + cos \alpha }{sin \alpha } = ctg \frac{ \alpha }{2}}\)
b)\(\displaystyle{ tg^{2} \alpha - tg^{2} \beta = \frac{sin( \alpha + \beta )sin( \alpha - \beta )}{cos^{2} \alpha sin^{2} \beta }}\)

2.Udowodnij, że

\(\displaystyle{ cos \frac{ \pi }{5} \cdot cos \frac{ \pi }{2} = \frac{1}{4}}\)

3. Przedstaw wyrażenie w postaci iloczynu:
a) \(\displaystyle{ \sqrt{2} +2cos \alpha}\)
b) \(\displaystyle{ cos \alpha +sin2 \alpha - cos3 \alpha}\)

4.Zamień sumę na iloczyn
\(\displaystyle{ 2sin ^{2} \alpha + \sqrt{3}sin2 \alpha - 1}\)

5.Przedstaw dane wyrażenie w postaci iloczynu wiedząc że \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = \pi}\)

\(\displaystyle{ sin \alpha + sin \beta - sin \gamma}\)

6. Rozwiąż równania

a)\(\displaystyle{ sin3x +cos3x = \sqrt{2}}\)
b)\(\displaystyle{ 2cosx +3 = 4cos \frac{x}{2}}\)
c)\(\displaystyle{ sin2x tgx = 1}\)
d)\(\displaystyle{ (sinx + cosx)^{2} = cos2x}\)

e) \(\displaystyle{ log _{cosx}(sinx) + log _{sinx}(cosx) = 2}\)




Dziękuje

[matshadow]

2.
\(\displaystyle{ cos \frac{ \pi }{2}=0 \Rightarrow cos \frac{ \pi }{5} \cdot cos \frac{ \pi }{2} = 0\ne\frac{1}{4}}\)

[janik]

Czy ktoś jest w stanie mi pomóc jeszcze ?

[matshadow]

3a)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}+2\cos\alpha=2\cos 45^{o}+2\cos\alpha=2(\cos 45^{o}+\cos\alpha)=2*2\cos\frac{\alpha+45^{o}}{2}\cos\frac{\alpha-45^{o}}{2}=4\cos\frac{\alpha+45^{o}}{2}\cos\frac{\alpha-45^{o}}{2}}\)
3b)
\(\displaystyle{ \cos x+\sin 2x-\cos 3x=\cos x+2\sin x\cos x-4\cos^3 x+3\cos x=4\cos x-4\cos^3 x+2\sin x\cos x=2\cos x(2-2\cos^2 x+\sin x)=2\cos x[2(1-\cos^2 x)+\sin x]=2\cos x(2\sin^2 x+\sin x)=\sin 2x(2\sin x+1)=\sin 2x(2\sin x+2\sin 30^{o})=2\sin 2x(\sin x+\sin 30^{o})=2\sin 2x\cdot 2\sin\frac{x+30^{o}}{2}\cos\frac{x-30^{o}}{2}=4\sin (2x)\sin(\frac{x+30^{o}}{2})\cos(\frac{x-30^{o}}{2})}\)

6c)
\(\displaystyle{ \sin 2x \tan x=1\\2\sin x\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=1\\2\sin^2x=1\\\sin^2x=\frac{1}{2}\\\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\vee \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\x=45^{o}\vee x=135^{o}\vee x=315^{o}\vee x=225^{o}}\)