udowodnienie wzoru na sumę sinusów dwóch kątów

michal1604 · Post autor: **michal1604** » 4 cze 2006, o 21:40

hej, jestem tu nową osobą mam dosc duzy problem z udowodnieniem wzoru
sinα+sinβ=2 [sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2]. bylbym bardzo wdzieczny za wszelka pomoc (i jezeli mozna, prosiłbym, by udowodnienie twierdzenia zostało przeprowadzone na poziomie licealnym )

UNIX_admin · Post autor: **UNIX_admin** » 5 cze 2006, o 11:29

Proponuje zacząć od prawej strony. najpierw trzeba skorzystac z wzoru ba sin i cos sumy, a nastepnie na sin i cos polowy kąta.

napisanie tego w tex'ie zajmie zbyt duzo czasu.

Prościej bedzie to udowodnic z postaci Eulera sin i cos, zle to chyba nie jest poziom liceum.

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 5 cze 2006, o 11:42

Musisz ułożyć układ równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny\\sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny\end{array}}\)
dodajesz obie tozsamości stronami i masz to:
\(\displaystyle{ sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy}\)
teraz podstaw:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x+y=\alpha\\x-y=\beta\end{array}}\)
biorąc to pod uwagę otrzymujesz:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}\frac{\alpha+\beta}{2}=x\\\frac{\alpha-\beta}{2}=y\end{array}}\) dalej już wiadomo.

michal1604 · Post autor: **michal1604** » 5 cze 2006, o 15:29

dziękuję Wam bardzo za pomoc zadanie nie okazalo sie takie straszne... co nie zmienia faktu, ze sam bym nigdy nie wpadł na jego rozwiązanie. Jeszcze raz dziękuję. Pozdrawiam, Michał