Trudne równanie trygonometryczne ;/

[mathematik18]

\(\displaystyle{ \cos^{25}(\pi\cdot x[x])-\sin^{24}(\pi\cdot x[x])=1}\) w przedziale \(\displaystyle{ (-3;2)}\) gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) jest liczbą całkowitą nie większą od \(\displaystyle{ x}\) ktoś umiałby to rozwiązać? Dziekuje za pomoc

[klaustrofob]

\(\displaystyle{ \cos^{25}(\pi\cdot x[x])=1+\sin^{24}(\pi\cdot x[x])}\) z wiadomych (?) względów musi być tak: \(\displaystyle{ \sin(\pi\cdot x[x])=0}\). czyli x[x] musi być całkowitą wielokrotnością pi. wystarczy sprawdzić dla jakich x to zachodzi, a potem sprawdzić, dla których x spośród sprawdzonych lewa strona daje 1.

[mathematik18]

x[x] jest iloczynem prawda? rozwiązując wiec te równanie x biore z tego przedziału co jest w poleceniu? i wtedy dobieram [x] zgodnie z warunkami zadania prawda? tylko nie wiem czy rozwiązaniami równania jest x czy [x]

[mathematik18]

ponawiam pytanie.. zależy mi na tym zadaniu... jak zrobić te zadanie..?

-- 2 kwi 2010, o 09:33 --

widze ze nie ma tu specjalistów od trygonometrii

[ordyh]

No to tak
\(\displaystyle{ \sin^{24}(\pi\cdot x[x]) = 0}\)
i
\(\displaystyle{ \cos^{25}(\pi\cdot x[x]) = 1 \Leftrightarrow \cos(\pi\cdot x[x]) = 1 \Leftrightarrow \pi\cdot x[x] = 2k\pi, k\in \mathbb{Z}}\)
czyli \(\displaystyle{ x[x] = 2k}\)

przypadek 1.
\(\displaystyle{ [x] = -3 \Leftrightarrow x \in (-3,-2)}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{2k}{-3}}\)
w rozpatrzanym przedziale są 2 wielokrotności liczby 1/3, ale spełnia tylko
\(\displaystyle{ x = -\frac{8}{3}}\)

przypadek 2.
\(\displaystyle{ [x] = -2 Leftrightarrow x in [-2,-1)}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2k}{-2} = -k}\)
jedyną liczbą całkowitą w tym przedziale to -2, mamy kolejne rozwiązanie
\(\displaystyle{ x = -2}\)

przypadek 3.
\(\displaystyle{ [x] = -1 Leftrightarrow x in [-1,0)}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2k}{-1} = -2k}\)
żadna liczba nie spełnia z tego przedziału

przypadek 4.
\(\displaystyle{ [x] = 0 Leftrightarrow x in [0,1)}\)
tutaj każda liczba z tego przedziału spełni, bo \(\displaystyle{ x[x] = 0}\), czyli jest parzysta

przypadek 5.
\(\displaystyle{ [x] = 1 Leftrightarrow x in [1,2)}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2k}{1} = 2k}\)
żadna liczba nie spełnia

Czyli rozwiązaniami są:
\(\displaystyle{ x in [0,1) cup {-frac{8}{3}, -2}}\)