Rozwiązać równanie

[sin2x]

\(\displaystyle{ 4 ^{ \frac{sinx}{2} }8 ^{ \frac{sin2x}{3} } =2 ^{sin4x}}\)
Zamieniam podstawy po obu stronach na 2 i dostaję:

\(\displaystyle{ sinx+sin2x=sin4x}\)

Teraz \(\displaystyle{ sin2x}\) i \(\displaystyle{ sin4x}\)rozpisuje ze wzorów i dostaję:

\(\displaystyle{ sinx+2sinxcosx=2sin2xcos2x}\)

Rozpisuje dalej

\(\displaystyle{ sinx+2sinxcosx=2 \cdot 2sinxcosx(cos ^{2}x-sin ^{2}x)}\) /Czy mogę w tym miejscu podzielić stronami przez sinx?
Jak to dalej uprościć?

[Odp. \(\displaystyle{ x=kpi vee x= pm frac{pi}{9} +k frac{2pi}{3}]}\)

[adek05]

Nie dziel, ale przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz \(\displaystyle{ \sin x}\) przed nawias.

[sin2x]

Wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ sinx=0 \vee -8cos ^{3} x+6cosx+1=0}\)

i teraz za cosx=t i nie da rady znaleźć pierwiastków, czy gdzieś zrobiłem błąd?

[anna_]

Wyszło mi tak samo, więc chyba błedu nie ma.
Tylko nie mam pomysłu jak to na czynniki rozłożyć.

[sin2x]

Wymyśliłem, aby za t podstawić 2cosx, wtedy pierwiastkiem będzie 1,
zadanie i tak jest nie do rozwiązania, bo skąd niby mamy znać wartość \(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{9}}\)(z odp.)

[anna_]

bo skąd niby mamy znać wartość \(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{9}}\)(z odp.)

To była dobra podpowiedź

Zerknij na to:
\(\displaystyle{ sinx+sin2x=sin4x}\)

\(\displaystyle{ sinx+sin(3x-x)=sin(3x+x)}\)

\(\displaystyle{ sinx+sin3x cosx-cos3xsinx=sin3xcosx+cos3xsinx}\)

\(\displaystyle{ sinx+sin3x cosx-cos3xsinx-sin3xcosx-cos3xsinx=0}\)

\(\displaystyle{ sinx-2cos3xsinx=0}\)

\(\displaystyle{ sinx(1-2cos3x)=0}\)

[sin2x]

Dzięki, wyszło ładnie

Pozdrawiam