Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1
-
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 11 wrz 2008, o 21:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 42 razy
Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1
Proszę o rozwiązanie (wydaje się proste, ale tak naprawdę nie jest )
\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1}\)
[Odp. \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} +2k\pi \vee x=\pi +2k\pi}\)]
\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1}\)
[Odp. \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} +2k\pi \vee x=\pi +2k\pi}\)]
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1
\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1}\)
\(\displaystyle{ \sin x=1+\cos x}\)
\(\displaystyle{ (1+\cos x)^2+\cos^2x=1}\)
\(\displaystyle{ 2\cos^2x + 2\cos x=0}\)
\(\displaystyle{ 2\cos x(\cos x +1)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x=1+\cos x}\)
\(\displaystyle{ (1+\cos x)^2+\cos^2x=1}\)
\(\displaystyle{ 2\cos^2x + 2\cos x=0}\)
\(\displaystyle{ 2\cos x(\cos x +1)=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawrzeńczyce
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 14 razy
Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1
\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1 \backslash ()^2 \\
\sin^2x -2\sin x\cos x + \cos^2x=1 \\
2\sin x\cos x=-1 \\
\sin2x=-1 \\}\)
\sin^2x -2\sin x\cos x + \cos^2x=1 \\
2\sin x\cos x=-1 \\
\sin2x=-1 \\}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1
Jak już zauważyła @nmn coś przegapiłeś (pomijam błąd rachunkowy).snajper0208 pisze:\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1 \backslash ()^2 \\
\sin^2x -2\sin x\cos x + \cos^2x=1 \\
2\sin x\cos x=-1 \\
\sin2x=-1 \\}\)
Podnosząc do kwadratu dołożyłbyś rozwiązania równania (-1)=1; stosując Twoją metodę trzeba dodatkowo założyć \(\displaystyle{ \sin x-\cos x\neq -1}\) i wtedy powinno zagrać.
-
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 11 wrz 2008, o 21:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 42 razy
Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1
\(\displaystyle{ 2\cos x(\cos x +1)=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x=0 \vee \cos x=-1}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+k\pi \vee x=\pi+2k\pi}\)
A w odpowiedzi jest:
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+}\)2\(\displaystyle{ k\pi \vee x=\pi+2k\pi}\)
co zgadza się z wykresem, więc co jest źle?
\(\displaystyle{ \cos x=0 \vee \cos x=-1}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+k\pi \vee x=\pi+2k\pi}\)
A w odpowiedzi jest:
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+}\)2\(\displaystyle{ k\pi \vee x=\pi+2k\pi}\)
co zgadza się z wykresem, więc co jest źle?
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1
Zlekceważyłem to i nie robiłem do końca (a szkoda); nie wiem czy bym zauważył - trzeba dołożyć warunek który napisałem we wcześniejszym poście (i tak jak wyżej to robić - mądrość po fakcie).
Teraz, skoro \(\displaystyle{ \cos x=0}\), to z wyjściowego ma być \(\displaystyle{ \sin x=1}\) (a to masz co \(\displaystyle{ 2k\pi}\)).
Teraz, skoro \(\displaystyle{ \cos x=0}\), to z wyjściowego ma być \(\displaystyle{ \sin x=1}\) (a to masz co \(\displaystyle{ 2k\pi}\)).
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 90 razy
Re: Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1
Ja zrobiłam tak: \(\displaystyle{ \sin x = 1 + \cos x}\) i następnie podstawiłam do "jedynki trygonometrycznej. Wtedy też niestety wyszło \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} + k\pi }\). Czy jeśli dołożymy założenie, że w równaniu \(\displaystyle{ \sin x = 1 + \cos x}\) obie strony są nieujemne, tzn. de facto tylko sinus, bo prawa strona jest zawsze nieujemna (ze względu na to, że później podnosimy do kwadratu), to będzie dobrze? (Wynik się wtedy zgadza, ale chodzi mi o samą ideę.)
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1
Idea dobra - tylko (co napisałem ponad 11 lat temu) trzeba to zauważyć.
Trzeba odrzucić te z otrzymanych rozwiązań, które dają ujemnego sinusa.
Trzeba odrzucić te z otrzymanych rozwiązań, które dają ujemnego sinusa.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1
Żeby uniknąć kłopotów można zrobić tak:
\(\displaystyle{ 2\sin\frac x2\cos\frac x2-\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2=\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2}\)
co po uproszczeniu daje
\(\displaystyle{ \left(\sin\frac x2-\cos\frac x2\right)\cos\frac x2=0}\)
Co daje dwie serie rozwiązań:
A) \(\displaystyle{ \cos\frac x2=0 \Rightarrow \frac x2=\frac \pi2+k\pi \Rightarrow x=\pi+2k\pi}\)
B) \(\displaystyle{ \tan\frac x2=1 \Rightarrow \frac x2=\frac \pi4+k\pi \Rightarrow x=\frac \pi2+2k\pi}\)
(mogę dzielić przez \(\displaystyle{ \cos\frac x2\neq 0}\))
\(\displaystyle{ 2\sin\frac x2\cos\frac x2-\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2=\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2}\)
co po uproszczeniu daje
\(\displaystyle{ \left(\sin\frac x2-\cos\frac x2\right)\cos\frac x2=0}\)
Co daje dwie serie rozwiązań:
A) \(\displaystyle{ \cos\frac x2=0 \Rightarrow \frac x2=\frac \pi2+k\pi \Rightarrow x=\pi+2k\pi}\)
B) \(\displaystyle{ \tan\frac x2=1 \Rightarrow \frac x2=\frac \pi4+k\pi \Rightarrow x=\frac \pi2+2k\pi}\)
(mogę dzielić przez \(\displaystyle{ \cos\frac x2\neq 0}\))
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1
Inna wersja:
\(\displaystyle{ \sin x -\cos x=1\\
\frac{1}{ \sqrt{2} } \sin x -\frac{1}{ \sqrt{2} } \cos x=\frac{1}{ \sqrt{2} } \\
\sin (x- \frac{ \pi }{4})= \frac{1}{ \sqrt{2} } \\
x- \frac{ \pi }{4}= \frac{ \pi }{4} +2k \pi \ \ \vee \ \ x- \frac{ \pi }{4}= \pi - \frac{ \pi }{4}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ \sin x -\cos x=1\\
\frac{1}{ \sqrt{2} } \sin x -\frac{1}{ \sqrt{2} } \cos x=\frac{1}{ \sqrt{2} } \\
\sin (x- \frac{ \pi }{4})= \frac{1}{ \sqrt{2} } \\
x- \frac{ \pi }{4}= \frac{ \pi }{4} +2k \pi \ \ \vee \ \ x- \frac{ \pi }{4}= \pi - \frac{ \pi }{4}+2k \pi}\)