Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
sin2x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 11 wrz 2008, o 21:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 42 razy

Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: sin2x »

Proszę o rozwiązanie (wydaje się proste, ale tak naprawdę nie jest )
\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1}\)

[Odp. \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} +2k\pi \vee x=\pi +2k\pi}\)]
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: piasek101 »

,,Jak zwykle" - dołóż jedynkę trygonometryczną.
sin2x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 11 wrz 2008, o 21:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 42 razy

Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: sin2x »

Też tak pomyślałem, tylko jak to dalej uprościć?
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: anna_ »

\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1}\)

\(\displaystyle{ \sin x=1+\cos x}\)

\(\displaystyle{ (1+\cos x)^2+\cos^2x=1}\)

\(\displaystyle{ 2\cos^2x + 2\cos x=0}\)

\(\displaystyle{ 2\cos x(\cos x +1)=0}\)
snajper0208
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 128
Rejestracja: 26 paź 2008, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawrzeńczyce
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 14 razy

Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: snajper0208 »

\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1 \backslash ()^2 \\
\sin^2x -2\sin x\cos x + \cos^2x=1 \\
2\sin x\cos x=-1 \\
\sin2x=-1 \\}\)
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: anna_ »

Widziałeś to?
sin2x pisze: \(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1}\)
sin2x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 11 wrz 2008, o 21:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 42 razy

Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: sin2x »

Dzięki nmn,
wszystko jasne
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: piasek101 »

snajper0208 pisze:\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1 \backslash ()^2 \\
\sin^2x -2\sin x\cos x + \cos^2x=1 \\
2\sin x\cos x=-1 \\
\sin2x=-1 \\}\)
Jak już zauważyła @nmn coś przegapiłeś (pomijam błąd rachunkowy).

Podnosząc do kwadratu dołożyłbyś rozwiązania równania (-1)=1; stosując Twoją metodę trzeba dodatkowo założyć \(\displaystyle{ \sin x-\cos x\neq -1}\) i wtedy powinno zagrać.
sin2x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 11 wrz 2008, o 21:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 42 razy

Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: sin2x »

\(\displaystyle{ 2\cos x(\cos x +1)=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x=0 \vee \cos x=-1}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+k\pi \vee x=\pi+2k\pi}\)

A w odpowiedzi jest:
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+}\)2\(\displaystyle{ k\pi \vee x=\pi+2k\pi}\)
co zgadza się z wykresem, więc co jest źle?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: piasek101 »

Zlekceważyłem to i nie robiłem do końca (a szkoda); nie wiem czy bym zauważył - trzeba dołożyć warunek który napisałem we wcześniejszym poście (i tak jak wyżej to robić - mądrość po fakcie).

Teraz, skoro \(\displaystyle{ \cos x=0}\), to z wyjściowego ma być \(\displaystyle{ \sin x=1}\) (a to masz co \(\displaystyle{ 2k\pi}\)).
sin2x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 11 wrz 2008, o 21:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 42 razy

Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: sin2x »

Wielkie dzięki za pomoc
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Re: Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: inusia146 »

Ja zrobiłam tak: \(\displaystyle{ \sin x = 1 + \cos x}\) i następnie podstawiłam do "jedynki trygonometrycznej. Wtedy też niestety wyszło \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} + k\pi }\). Czy jeśli dołożymy założenie, że w równaniu \(\displaystyle{ \sin x = 1 + \cos x}\) obie strony są nieujemne, tzn. de facto tylko sinus, bo prawa strona jest zawsze nieujemna (ze względu na to, że później podnosimy do kwadratu), to będzie dobrze? (Wynik się wtedy zgadza, ale chodzi mi o samą ideę.)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: piasek101 »

Idea dobra - tylko (co napisałem ponad 11 lat temu) trzeba to zauważyć.

Trzeba odrzucić te z otrzymanych rozwiązań, które dają ujemnego sinusa.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: a4karo »

Żeby uniknąć kłopotów można zrobić tak:
\(\displaystyle{ 2\sin\frac x2\cos\frac x2-\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2=\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2}\)
co po uproszczeniu daje
\(\displaystyle{ \left(\sin\frac x2-\cos\frac x2\right)\cos\frac x2=0}\)

Co daje dwie serie rozwiązań:
A) \(\displaystyle{ \cos\frac x2=0 \Rightarrow \frac x2=\frac \pi2+k\pi \Rightarrow x=\pi+2k\pi}\)
B) \(\displaystyle{ \tan\frac x2=1 \Rightarrow \frac x2=\frac \pi4+k\pi \Rightarrow x=\frac \pi2+2k\pi}\)
(mogę dzielić przez \(\displaystyle{ \cos\frac x2\neq 0}\))
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Równanie trygonometryczne sinx-cosx = 1

Post autor: kerajs »

Inna wersja:
\(\displaystyle{ \sin x -\cos x=1\\
\frac{1}{ \sqrt{2} } \sin x -\frac{1}{ \sqrt{2} } \cos x=\frac{1}{ \sqrt{2} } \\
\sin (x- \frac{ \pi }{4})= \frac{1}{ \sqrt{2} } \\
x- \frac{ \pi }{4}= \frac{ \pi }{4} +2k \pi \ \ \vee \ \ x- \frac{ \pi }{4}= \pi - \frac{ \pi }{4}+2k \pi}\)
ODPOWIEDZ