Proszę o pomoc w udowodnieniu takiej oto nierówności:
|tgx+ctgx|>|sinx+cosx| dla x≠k*Π/2
udowodnij nierówność
-
Czesio
- Użytkownik
- Posty: 103
- Rejestracja: 30 wrz 2005, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
udowodnij nierówność
\(\displaystyle{ \tan{x}\cot{x}=1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{|\tan{x}\cot{x}|}=1}\)
Z twierdzenia o średnich:
\(\displaystyle{ |\tan{x}+\cot{x}|\geq2\sqrt{|\tan{x}\cot{x}|}=2}\)
Twierdzenie jest dla dodatnich, ale tutaj mamy wartość bezwzględną i też działa. Dalej sobie poradzisz.
\(\displaystyle{ \sqrt{|\tan{x}\cot{x}|}=1}\)
Z twierdzenia o średnich:
\(\displaystyle{ |\tan{x}+\cot{x}|\geq2\sqrt{|\tan{x}\cot{x}|}=2}\)
Twierdzenie jest dla dodatnich, ale tutaj mamy wartość bezwzględną i też działa. Dalej sobie poradzisz.
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
udowodnij nierówność
Ja mam bez średnich. Sprowadźmy do wspólnego mianownika i podnieśmy do kwadratu obie strony (można, bo są dodatnie liczby). Potem korzystamy z wzoru na sinus kąta podwójnego.
\(\displaystyle{ \frac{4}{(2\sin{x}\cos{x})^2}>1+2\sin{x}\cos{x}\, \Longleftrightarrow\, \frac{4}{\sin^2{2x}}>\, 2\, q 1+\sin{2x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{(2\sin{x}\cos{x})^2}>1+2\sin{x}\cos{x}\, \Longleftrightarrow\, \frac{4}{\sin^2{2x}}>\, 2\, q 1+\sin{2x}}\)