Równanie trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
pawel435
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 14 mar 2008, o 19:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: mam to wiedzieć???
Podziękował: 32 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: pawel435 »

Cześć. Nie daje rady z takimi przykładami:
a)\(\displaystyle{ sin2xtgx=1}\)
liczyłem coś takiego:
\(\displaystyle{ 2sinxcosxtgx=1}\)
\(\displaystyle{ 2sinxcosx \frac{sinx}{cosx}=1}\)
\(\displaystyle{ 2sin ^{2} x=1}\)
\(\displaystyle{ sinx= \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee sinx=- \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
i gdzies błąd robie ale nie wiem gdzie bo rozwiazanie mi tylko 2 przyp.
b)\(\displaystyle{ (sinx+cosx)^{2} =cos2x}\)
i licze ze to:
\(\displaystyle{ sin ^{2} x+2sinxcosx+cos ^{2} x=cos2x}\)
\(\displaystyle{ sin2xcosx+1=cos2x}\)
i co dalej, moge to podzielicz przez cosx i jak to bedzie dalej wygladac
c)\(\displaystyle{ 1+cosx+cos \frac{x}{2} =o}\)
d)\(\displaystyle{ sinx+ \sqrt{3}cosx=1}\)
kazda pomoc, tłumaczenie bedzie bardzo cenne,bo chce to zrozumiec jak najlepiej;]
z góry dzięki;)
rodzyn7773
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1659
Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 278 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: rodzyn7773 »

\(\displaystyle{ sinx+ \sqrt{3}cosx=1}\)
podzielmy równanie przez 2, otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} sinx+ \frac{\sqrt{3}}{2} cosx= \frac{1}{2}}\)
Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} =cos \frac{\pi}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}=sin \frac{\pi}{3}}\)
Podstawmy to do naszego równania:
\(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{3} sinx+ sin \frac{\pi}{3} cosx= \frac{1}{2}}\)
Po lewej stronie równania masz wzór na sinus sumy czyli zapisujemy:
\(\displaystyle{ sin (\frac{\pi}{3}+x)= \frac{1}{2}}\)

Dalej już poradzisz sobie

-- 29 lis 2009, o 11:24 --

\(\displaystyle{ 1+cosx+cos \frac{x}{2} =o}\)
Wydaje mi się, że po prawej stronie jest 0 ale nie jestem pewny więc zrobimy tak:
I sposób:
Podstawmy:
\(\displaystyle{ t= \frac{x}{2} \\ 2t=x}\)
\(\displaystyle{ 1+cosx+cos \frac{x}{2}=1+cos 2t+cos t}\)
Skorzystajmy ze wzorów:
\(\displaystyle{ cos 2t=cos^2 t- sin^2 t \\ sin^2t=1-cos^2t}\)

\(\displaystyle{ 1+cos 2t+cos t=1+cos^2 t- sin^2 t+cos t=1+cos^2 t-1+cos^2t+cost=2cos^2t+cos t}\)
to co nam wyszło podstawiasz za lewą część równania, możesz podstawić \(\displaystyle{ cos t=d}\)
i otrzymasz równanie kwadratowe.

II sposób:
Wyraźmy \(\displaystyle{ cos x}\) za pomocą \(\displaystyle{ cos \frac{x}{2}}\)

\(\displaystyle{ cos x=cos 2 \frac{x}{2} =cos^2 \frac{x}{2} -sin^2 \frac{x}{2} =cos^2 \frac{x}{2} -1+cos^2 \frac{x}{2} =2cos^2 \frac{x}{2} -1}\)

Podstawmy to do naszego równania:
\(\displaystyle{ 1+cosx+cos \frac{x}{2} =1+2cos^2 \frac{x}{2} -1+cos \frac{x}{2}=2cos^2 \frac{x}{2}+cos \frac{x}{2}}\)

Dalej podobnie jak w I sposobie.

-- 29 lis 2009, o 11:34 --

\(\displaystyle{ (sinx+cosx)^{2} =cos(2x)}\)
dobrze zacząłeś ale później coś ci nie wyszło:
\(\displaystyle{ sin^(2x)+cos^(2x)+2sin x cox x=cos (2x)\\sin (2x)+1-cos (2x)=0\\1-cos^2 (2x)+1-cos (2x)=0\\-cos^2 (2x) -cos (2x)+2=0}\)
Podstaw:
\(\displaystyle{ cos (2x)=t \wedge -1 \le t \le 1}\)
Do rozwiązania równanie kwadratowe-- 29 lis 2009, o 11:36 --a ten pierwszy podpunkt to dobrze robisz
ODPOWIEDZ