Obliczyć sume cosinusów

[pawelsuz]

Znaleźć wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{5}+\cos \frac{3 \pi}{5}}\) . Wykorzystaj wzór \(\displaystyle{ \cos 3 \alpha=\cos \alpha (4\cos ^{2} \alpha -3)}\)

[piasek101]

Jeśli przyjmiesz, że znasz \(\displaystyle{ \cos 36=\frac{1+\sqrt 5}{4}}\) to idzie od razu.

Jeśli nie to robię tak :
- pamiętam, że (co możesz znaleźć i na tym forum) \(\displaystyle{ \cos 36\cdot \cos 72 = \cos 36(2\cos ^2 36-1)=0,25}\)

- z tego wyznaczasz cos36 (wychodzi taki jak podałe4m wyżej) i ,,idzie od razu".

[anna_]

Rozwiązanie znalezione w sieci:

\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{5}+\cos \frac{\pi}{5} \left( 4\cos^2\ \frac{\pi}{5}-3 \right) =\cos \frac{\pi}{5} \left( 4\cos^2\ \frac{\pi}{5}-2 \right) =2\cos \frac{\pi}{5} \left( 2\cos^2\ \frac{\pi}{5}-1 \right) =}\)

\(\displaystyle{ =2\cos \frac{\pi}{5}\cos \frac{2\pi}{5}=\frac{2\sin \frac{\pi}{5}\cos \frac{\pi}{5}\cos \frac{2\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{5}}=\frac{2\sin \frac{2\pi}{5}\cos \frac{2\pi}{5}}{2\sin \frac{\pi}{5}}=\frac{\sin \frac{4\pi}{5}}{2\sin \frac{\pi}{5}}=\frac{\sin \left( \pi-\frac{\pi}{5} \right) }{2\sin \frac{\pi}{5}}=\frac{\sin \frac{\pi}{5}}{2\sin \frac{\pi}{5}}=\frac{1}{2}}\)

[adachowicz]

NIe ogarniam pierwszej linijki. Mogłabyś to jakoś uprościć?

[anna_]

post709574.htm

[Spens13]

Witam, wiem, że jest to bardzo stary temat, ale chcę go odświeżyć, ponieważ nie rozumiem dlaczego to się właśnie tak rozwiązuje. Ja myślałem o czymś takim jak:

\(\displaystyle{ \cos3\frac{\pi }{5}=\cos\frac{\pi }{5}(4\cos^{2}\frac{\pi }{5}-3)}\)

Może mi ktoś to zadanie dokładniej wytłumaczyć? :/

[anna_]

No przecież masz to zastosowane w pierwszej linijce. Wyłącz potem \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{5}}\) i poredukuj wyrazy podobne a otrzymasz \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{5}(4\cos^2\ \frac{\pi}{5}-2)}\)

[Spens13]

Ale ja wciąż nie wiem skąd w rozwiązaniu na samym początku wzięło się \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{5}+...}\).

@edit
Aaaa... Już rozumiem, po prostu robimy tak jakby:

\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{5}+\cos3\alpha}\).

i podstawiamy potem \(\displaystyle{ \cos\frac{\pi }{5}(4\cos^{2}\frac{\pi }{5}-3)}\).

Przepraszam za kłopot :/