Trygonometria zadanka ciag dalszy

[gabor94]

1.
Założenia: \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in R}}\)
Teza: \(\displaystyle{ sin^6 x + cos^6 x\geqslant \frac{1}{4}}\)]
2.
Udowodnij że \(\displaystyle{ tg 1 \not\in W}\)
3.
f(x)=\(\displaystyle{ \alpha sin^2 x+\beta cos x sin x + cos^2 x}\)
Znajdź minimum i maksimum funkcji
4.
\(\displaystyle{ \alpha,\ \beta,\ \gamma}\)- kąty trójkąta
\(\displaystyle{ sin^2 \alpha+sin^2 \beta-cos(\alpha - \beta) cos \gamma -cos \gamma= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \gamma=?}\)

[matshadow]

1)
\(\displaystyle{ sin^6 x+cos^6 x=(sin^2x)^3+(cos^2x)^3=(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)=(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x)-3sin^2xcos^2x=(sin^2x+cos^2x)^2-3sin^2xcos^2x=1-3sin^2xcos^2x\\1-3sin^2xcos^2x\ge\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}\ge sin^2xcos^2x\\1\ge (2sinxcosx)^2\\1\ge sin^22x}\)
Ostatnia nierówność prawdziwa jest, więc nierówność wyjściowa też