Znaleźć funkcję odwrotną...

[r0xt4r]

...do funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=tgx, x \in ( -\frac{3 \pi}{2}; -\frac{ \pi}{2} )}\)

[lukasz1804]

Wobec okresowości funkcji tangens mamy \(\displaystyle{ f(x)=\tg(x+\pi)}\). Dla \(\displaystyle{ x\in(-\frac{3}{2}\pi,-\frac{1}{2}\pi)}\) mamy ponadto \(\displaystyle{ x+\pi\in(-\frac{1}{2}\pi,\frac{1}{2}\pi)}\). Stąd \(\displaystyle{ \arctan f(x)=\arctan\tg(x+\pi)=x+\pi}\), więc \(\displaystyle{ x=\arctan f(x)-\pi}\).
Funkcją odwrotną do \(\displaystyle{ f}\) jest zatem funkcja dana wzorem \(\displaystyle{ f^{-1}(t)=\arctan t-\pi}\) dla \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).