Obliczyć:
\(\displaystyle{ 2sin ^{2}3x+sin ^{2}6x<2}\)
Nierówność trygonometryczna
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Nierówność trygonometryczna
Zamień \(\displaystyle{ sin^2 6x}\) na \(\displaystyle{ 4sin^2 3x cos^2 3x}\); podziel stronami przez 2; przenieś 1 na lewą; zamień 1 z jedynki trygonometrycznej - dalej może zobaczysz co jest grane.
-
sin2x
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 11 wrz 2008, o 21:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 42 razy
Nierówność trygonometryczna
Dzięki, czy mógłbyś jeszcze napisać jak zamieniłeś \(\displaystyle{ sin ^{2}6x}\) ??
Dalej myślę, że już sobie poradzę
Dalej myślę, że już sobie poradzę
-
sin2x
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 11 wrz 2008, o 21:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 42 razy
Nierówność trygonometryczna
Robię tak:
\(\displaystyle{ sin ^{2}3x + 2sin ^{2}3xcos ^{2} 3x-1<0}\)
\(\displaystyle{ sin ^{2}3x + 2sin ^{2}3xcos ^{2} 3x-sin ^{2}3x-cos ^{2}3x<0}\)
\(\displaystyle{ 2sin ^{2}3xcos ^{2} 3x-cos ^{2} 3x<0}\)
\(\displaystyle{ \left[ sin ^{2} 3x=1-cos ^{2} 3x \right]}\)
\(\displaystyle{ 2(1-cos ^{2} 3x)cos ^{2} 3x-cos ^{2} 3x<0}\)
\(\displaystyle{ \left[ cos ^{2}3x=t, t \in <0, 1> \right]}\)
\(\displaystyle{ t(-2t+1)<0}\)
\(\displaystyle{ t \in ( \frac{1}{2}, 1>}\)
Czy dobrze rozwiązuje to zadanie?
Jak teraz znaleźć rozwiązanie w przedziale \(\displaystyle{ x \in [0, 2\pi]}\)? Pytam, bo może coś robię źle, gdyż mój wynik nie pokrywa się z wykresem
\(\displaystyle{ sin ^{2}3x + 2sin ^{2}3xcos ^{2} 3x-1<0}\)
\(\displaystyle{ sin ^{2}3x + 2sin ^{2}3xcos ^{2} 3x-sin ^{2}3x-cos ^{2}3x<0}\)
\(\displaystyle{ 2sin ^{2}3xcos ^{2} 3x-cos ^{2} 3x<0}\)
\(\displaystyle{ \left[ sin ^{2} 3x=1-cos ^{2} 3x \right]}\)
\(\displaystyle{ 2(1-cos ^{2} 3x)cos ^{2} 3x-cos ^{2} 3x<0}\)
\(\displaystyle{ \left[ cos ^{2}3x=t, t \in <0, 1> \right]}\)
\(\displaystyle{ t(-2t+1)<0}\)
\(\displaystyle{ t \in ( \frac{1}{2}, 1>}\)
Czy dobrze rozwiązuje to zadanie?
Jak teraz znaleźć rozwiązanie w przedziale \(\displaystyle{ x \in [0, 2\pi]}\)? Pytam, bo może coś robię źle, gdyż mój wynik nie pokrywa się z wykresem
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Nierówność trygonometryczna
Dalej robiłbym tak :sin2x pisze:Robię tak:
\(\displaystyle{ sin ^{2}3x + 2sin ^{2}3xcos ^{2} 3x-1<0}\)
\(\displaystyle{ sin ^{2}3x + 2sin ^{2}3xcos ^{2} 3x-sin ^{2}3x-cos ^{2}3x<0}\)
\(\displaystyle{ 2sin ^{2}3xcos ^{2} 3x-cos ^{2} 3x<0}\) ...
\(\displaystyle{ cos^2 3x(2sin^2 3x-1)<0}\) (zauważ, że \(\displaystyle{ cos^2 3x \geq 0}\); przy założeniu, że nie jest
zerem możesz przez niego podzielić stronami; gdy jest zerem nierówność nie jest spełniona)
-
sin2x
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 11 wrz 2008, o 21:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 42 razy
Nierówność trygonometryczna
Czy mogę tak zapisać?
\(\displaystyle{ 3x \in (- \frac{\pi}{4}+k\pi, \frac{\pi}{4}+k\pi) /:3}\)
\(\displaystyle{ x \in (- \frac{\pi}{12}+ \frac{k\pi}{3}, \frac{\pi}{12}+ \frac{k\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \in (- \frac{\pi}{12}+ \frac{k\pi}{3}, \frac{\pi}{12}+ \frac{k\pi}{3} \\ x \in <0, 2\pi> \end{cases}}\)\(\displaystyle{ \Rightarrow x \in <0, \frac{\pi}{12}) \cup (\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{12}) \cup (\frac{7\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{11\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}) \cup (\frac{5\pi}{4}, \frac{17\pi}{12})}\)
\(\displaystyle{ 3x \in (- \frac{\pi}{4}+k\pi, \frac{\pi}{4}+k\pi) /:3}\)
\(\displaystyle{ x \in (- \frac{\pi}{12}+ \frac{k\pi}{3}, \frac{\pi}{12}+ \frac{k\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \in (- \frac{\pi}{12}+ \frac{k\pi}{3}, \frac{\pi}{12}+ \frac{k\pi}{3} \\ x \in <0, 2\pi> \end{cases}}\)\(\displaystyle{ \Rightarrow x \in <0, \frac{\pi}{12}) \cup (\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{12}) \cup (\frac{7\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{11\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}) \cup (\frac{5\pi}{4}, \frac{17\pi}{12})}\)
\(\displaystyle{ \cup (\frac{19\pi}{12}, \frac{21\pi}{12})\cup (\frac{23\pi}{12}, 2\pi>}\)