Wykaż prawdziwość następującej równości.

[Rafik4]

Witam! Mam problem z zauważeniem zależności w takich zadaniach... czy ktoś ma pomysł jak zacząć przekształcać lewą stronę?
\(\displaystyle{ \frac{sin2x}{1+cos2x} \cdot \frac{cosx}{1+cosx}=tg \frac{x}{2}}\)

[Nakahed90]

Od rozpisania podwójnych kątów zacznij.

[Rafik4]

korzystam z tego, że:
\(\displaystyle{ sin2x= \frac{2tgx}{1+tg^2x}}\)
\(\displaystyle{ cos2x= \frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{sin2x}{1+cos2x} \cdot \frac{cosx}{1+cosx}=tg \frac{x}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\frac{2tgx}{1+tg^2x} }{ 1+\frac{1-tg^2x}{1+tg^2x} } \cdot \frac{cosx}{1+cosx}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\frac{2tgx}{1+tg^2x} }{\frac{1+tg^2x}{1+tg^2x}+\frac{1-tg^2x}{1+tg^2x} } \cdot \frac{cosx}{1+cosx}}\)


\(\displaystyle{ \frac{\frac{2tgx}{1+tg^2x} }{\frac{2}{1+tg^2x} }\cdot\frac{cosx}{1+cosx}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2tgx}{1+tg^2x}\cdot \frac{1+tg^2x}{2}\cdot \frac{cosx}{1+cosx}}\)

\(\displaystyle{ tgx\cdot \frac{cosx}{1+cosx}}\)

\(\displaystyle{ \frac{sinx}{cosx}\cdot \frac{cosx}{1+cosx}}\)

\(\displaystyle{ \frac{sinx}{1+cosx}}\)

hmm... kurcze chyba coś nie tak

[Przemas O'Black]

Ze wzorów na podwójny kąt mamy:
\(\displaystyle{ \frac{sin 2x}{1+co s2x} * \frac{cosx}{1+cosx} = \frac{sin x}{1 + cos x}}\).
Chcemy, żeby to było równe \(\displaystyle{ tg \frac{x}{2}}\)
W tym celu wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{sin 2 \alpha }{1 + cos 2 \alpha } = tg \alpha}\).
Ale \(\displaystyle{ \frac{sin 2 \alpha }{1 + cos 2 \alpha } = \frac{2 sin \alpha cos \alpha }{1 + (2cos ^{2}\alpha - 1) }}\)
Co prawie kończy dowód.

[Rafik4]

hmm... a jak udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{sinx}{1+cosx} =tg \frac{x}{2}}\) ??

[Przemas O'Black]

No tam wyżej napisałem. Przypatrz się. Podstawiłem \(\displaystyle{ \frac{x}{2} = \alpha}\)

[Rafik4]

hmm no tak, wszystko jasne, ale jak tu teraz udowodnić to:
\(\displaystyle{ \frac{sin 2 \alpha }{1 + cos 2 \alpha } = \frac{2 sin \alpha cos \alpha }{1 + (2cos ^{2}\alpha - 1) }}\)

[Przemas O'Black]

Istnieją gotowe wzory na sin i cos podwójnych kątów:
... ometryczne