Kilka zadań ze zbioru Kiełbasy

[Cleo66]

1. Zbadaj (z wykorzystaniem definicji) czy liczba t jest okresem funkcji f
\(\displaystyle{ f(x)= \left|sin x \right| + \left| cos x\right|}\)
\(\displaystyle{ t = \Pi}\)

wiem jak wyglądają wykresy funcji sin i cos ale jakoś nie mogę sobie wyobrazić ich dodania
i kolejny problem jak mam to udowodnić z wykorzystaniem definicji

2. Zapisz w postaci iloczynowej wyrażenie
a) \(\displaystyle{ sin x - cos x}\)
b) \(\displaystyle{ sin x + sin3x + sin5x}\)

z a) w ogóle nie wiem co zrobić
natomiast co do b) - poznałam wzór sin2x i cos2x ale 3 albo 5. próbowałam zrobić to z wykorzystaniem wzoru sumy, najpierw sinx+sin3x i potem dodać do tego sin5x ale też w pewnym momencie się zatrzymałam

3.Rozwiąż równanie
a) \(\displaystyle{ sin5x=1}\) tutaj ten sam problem co w poprzednim zadaniu
b) \(\displaystyle{ tg \left( 3x- \frac{\Pi}{3} \right)= \sqrt{3}}\)
c) \(\displaystyle{ cos3x=1}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \left(0,\Pi \right)}\)
d) \(\displaystyle{ cos \left(2x+ \frac{\Pi}{3} \right)=1}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \langle 0,2\Pi \rangle}\)

4. Rozwiąż równanie
a) \(\displaystyle{ 2sin ^{2}x + sinx-1=0}\)
b) \(\displaystyle{ sin ^{2} x - 3cosx-3=0}\)

P.S. pojęłam latexa!

[Justka]

1. Z def. funkcji okresowej mamy: \(\displaystyle{ f(x+T)=f(x)}\). No to jedziemy (po drodze wykorzystując wzory redukcyjne oraz to, że \(\displaystyle{ |x|=|-x|}\)):

\(\displaystyle{ f(x+\pi)=|sin(x+\pi)|+|cos(x+\pi)|=|-sin x|+|-cos x|=|sin x|+|cos x|=f(x)}\)

Zatem \(\displaystyle{ \pi}\) jest okresem funkcji \(\displaystyle{ f}\).

[piasek101]

3. a)
Możesz podstawić 5x=t (aby zobaczyć o co kaman)

Rozwiązać \(\displaystyle{ sin(t)=1}\); wrócić do podstawienia.

Pozostałe z tego zadania podobnie - tam gdzie podany przedział, po podstawieniu rozwiązuję przypadek ogólny (jakby przedziału nie było); wracam do podstawienia i sprawdzam które z rozwiązań załapały się do przedziału.

4. a) Podstaw sinx=t (t z określonego przedziału); rozwiąż kwadratowe, wróć do podstawienia.

b) podobnie - tylko ,,zgub" sinusa na rzecz kosinusa (z jedynki trygonometrycznej).

[Cleo66]

ahaaa. ok, dziękuję bardzo obojgu.
jeszcze 2 i 4 zostało

[Lorek]

2. z a) w ogóle nie wiem co zrobić

Zamień cosinusa na sinus.

natomiast co do b) - poznałam wzór sin2x i cos2x ale 3 albo 5. próbowałam zrobić to z wykorzystaniem wzoru sumy, najpierw sinx+sin3x i potem dodać do tego sin5x ale też w pewnym momencie się zatrzymałam

A spróbuj najpierw dodać sin x i sin 5x.

[Cleo66]

2. z a) w ogóle nie wiem co zrobić

Zamień cosinusa na sinus.

nadal nie rozumiem, nie wiem jak, nie wiem z której własności-- 14 lis 2009, o 13:33 --Jeszcze jedno pytanie, bo robię, ale odpowiedź wychodzi mi inna niż w rozwiązaniach więc pewnie robię gdzieś błąd lub robię coś czego nie mogę zrobić.

\(\displaystyle{ sinx+cosx=1}\)
podnoszę obie strony do kwadratu
\(\displaystyle{ sin ^{2}x + 2sinxcosx + cos ^{2}x=1}\)
\(\displaystyle{ 1+2sinxcosx=1}\)
\(\displaystyle{ 2sinxcosx=0}\)
dzielę przez dwa, więc:

\(\displaystyle{ sinx=0}\)
\(\displaystyle{ x=\Pi+k\Pi}\)

lub

\(\displaystyle{ cosx=0}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{\Pi}{2} +k\Pi}\)

natomiast prawidłowa odpowiedź to
\(\displaystyle{ x=2k\Pi}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{\Pi}{2} +2k\Pi}\)

[Lorek]

Bo, żeby podnieść do kwadratu, to obie strony muszą mieć ten sam znak (czyli u nas \(\displaystyle{ \sin x+\cos x>0}\)

\(\displaystyle{ \cos x=\sin (\frac{\pi}{2}-x)}\)

[Cleo66]

nie rozumiem
\(\displaystyle{ sinx+cosx>0}\) i 1 większa od 0 czyli mogę podnieść do kwadratu

[piasek101]

\(\displaystyle{ sinx+cosx>0}\)

Tego nie jesteś pewna; np sinx=0 a cosx = -1.