sprawdź, czy istnieje kąt

[Robert9292]

sprawdź, czy istnieje kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) taki, że \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{2}{3}}\) i \(\displaystyle{ \ctg\alpha=4}\)

[neta]

Moim zdaniem tak, bo :

\(\displaystyle{ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}\), więc
\(\displaystyle{ 4= \frac{ \frac{2}{3} }{\sin \alpha}}\)
\(\displaystyle{ 4 \sin \alpha = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha \in [-1,1]}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \in [-1,1],}\) więc istnieje takie \(\displaystyle{ \alpha.}\)

[piasek101]

Moim zdaniem tak, bo :

\(\displaystyle{ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}\), więc
\(\displaystyle{ 4= \frac{ \frac{2}{3} }{\sin \alpha}}\)
\(\displaystyle{ 4 \sin \alpha = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha \in [-1,1]}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \in [-1,1],}\) więc istnieje takie \(\displaystyle{ \alpha.}\)

Ale \(\displaystyle{ sin^2\alpha + cos^2\alpha = ...}\) ( i okaże się, że ...)

[Robert9292]

rozwiązuje te zadanie i nie umiem dojść do tego...

[neta]

\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha =1}\)

tutaj \(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha =\frac{1}{6}}\)

czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{36} + \cos ^{2} \alpha =1}\)

stąd \(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha= \frac{35}{36}}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha=+ - \frac{ \sqrt{35}}{6} \approx + - 0,986 \neq \frac{2}{3}}\)

no rzeczywiście coś tu nie pasuje.

[Robert9292]

z tą jedynka mi tak samo wyszło... nie istnieje taki kąt...

jedno z drugim się zaprzecza:

\(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1}\)

więc

\(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha=1-\cos^{2}\alpha}\)

jeśli \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{2}{3}}\)

wówczas otrzymujemy \(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha=1-\frac{4}{9}}\)

\(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha=\frac{5}{9}}\)

\(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}}\)


\(\displaystyle{ \ctg\alpha=4}\)

\(\displaystyle{ \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}\)

\(\displaystyle{ \ctg\alpha=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}}\)

więc \(\displaystyle{ \ctg\alpha=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{5}}}\)

\(\displaystyle{ \ctg\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}\)

czyli po zniesieniu niewymierności z mianownika otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \ctg\alpha=\frac{2\cdot\sqrt{5}}{5}}\)

\(\displaystyle{ \ctg\alpha=\frac{2\cdot\sqrt{5}}{5} \neq 4}\)


wniosek z tego, ze \(\displaystyle{ \alpha}\) nie istnieje


tak do tego rozwiązania doszedłem...

[neta]

Na to wychodzi, że jest sprzeczność, więc taki kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) nie istnieje