rownanie trygonometryczne

[91kamillo]

Wiedząc, x jest kątem ostrym i tg=3 oblicz:

\(\displaystyle{ \frac{8cosx-7sinx}{5cosx+2sinx}}\)
z góry dziękuje

[grzywatuch]

korzystasz z \(\displaystyle{ \tg \alpha= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\) i jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha = 1}\) i robisz z tego układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \\ sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha = 1 \end{cases}}\)

i z tego obliczasz \(\displaystyle{ \sin \alpha, \cos \alpha}\) i podstawiasz potem niżej xD, może jest krótszy sposób ale ten też jest dobry xD

[91kamillo]

licze i nie wychodzi... ;/

[johnny1591]

z pierwszego równania

\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha}{cos\alpha}= \frac{3}{1}}\)
z proporcji
\(\displaystyle{ sin\alpha=3cos\alpha}\)
podstawiamy do drugiego

\(\displaystyle{ (3cos) ^{2} \alpha+cos ^{2}\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ 10cos ^{2} \alpha=1}\)
\(\displaystyle{ cos ^{2} \alpha = \frac{1}{10}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{ \sqrt{10} }{10}}\)
wypada ujemne rozwiązanie, gdyż cos nie może być ujemny dla kąta ostrego,
więc
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{ 3\sqrt{10} }{10}}\)

Podstawiamy do tego:

\(\displaystyle{ \frac{\frac {8\sqrt{10}}{10} - \frac{21\sqrt{10}}{10}}{\frac{5 \sqrt{10}}{10}+\frac{6 \sqrt{10}}{10}}=
\frac{ \frac{-13 \sqrt{10} }{10} }{ \frac{11 \sqrt{10} }{10} }=- \frac{13 \sqrt{10} }{10}* \frac{10}{11 \sqrt{10} } =- \frac{13}{11}}\)