Wyznacz zbiór wartosci funkcji

MnMK · Post autor: **MnMK** » 11 lis 2009, o 15:54

\(\displaystyle{ y= 5 cos ^{2}(x- \frac{pi/}{5})}\)

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 11 lis 2009, o 15:56

\(\displaystyle{ -1 \le cosx \le 1\\
0<cos^2x<1\\
0<5cos^2x<5\\
0<5cos^2\left(x- \frac{\pi}{5} \right)<5}\)

MnMK · Post autor: **MnMK** » 11 lis 2009, o 16:26

i jak dalej rozwiązać taką nierówność?

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 11 lis 2009, o 21:39

To już gotowe rozwiązanie. Skoro \(\displaystyle{ 5cos^2\left(x- \frac{\pi}{5} \right)}\) przyjmuje wartości tylko od 0 do 5, to to jest właśnie zbiór wartości tej funkcji: \(\displaystyle{ 5cos^2\left(x- \frac{\pi}{5} \right) \in (0;5)}\).
Ostatecznie: \(\displaystyle{ f(D)=(0;5)}\)

vveronika · Post autor: **vveronika** » 24 lis 2009, o 13:17

dlaczego -1 podniesione do kwadratu daje 0? przecież normalnie to jest 1...

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 25 lis 2009, o 10:09

Najlepiej zrozumieć to na wykresie. Nie sugeruj się podnoszeniem do kwadratu, bo obustronnie możemy tak zrobić w nierówności, gdy obie jej strony są dodatnie, tu tak nie jest. Dlatego przekształcając wykres funkcji \(\displaystyle{ cosx}\), wartość \(\displaystyle{ -1}\) zmienia się na \(\displaystyle{ 1}\) (bo \(\displaystyle{ (-1)^2=1}\)), wartość \(\displaystyle{ \frac{-1}{2}}\) na \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), \(\displaystyle{ \frac{-1}{ \sqrt{2} }}\) na \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) itd., a \(\displaystyle{ 0}\) pozostaje \(\displaystyle{ 0}\). I tym sposobem wszystko, co było poniżej osi OX teraz zostanie przeniesione powyżej, a wszystko, co powyżej osi OX oraz zero zostaną na swoim miejscu.
Jaśniej?