Dla jakich wartosci parametru m równanie \(\displaystyle{ \cos x+ \sqrt{3}\sin x=\log m^{2}}\) ma rozwiazania?
Doprowadziłem to do postaci \(\displaystyle{ \cos(x- \frac{\pi}{3} )=\log m}\) i nie wiem co dalej zrobić. Mógłby mi ktoś dać wskazówkę?
równanie z parametrem
-
junior15
- Użytkownik
- Posty: 225
- Rejestracja: 5 lut 2009, o 10:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 22 razy
równanie z parametrem
Ostatnio zmieniony 8 lis 2009, o 11:34 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol liczby pi jest w LaTeX-u generowany przez polecenie \pi.
Powód: Symbol liczby pi jest w LaTeX-u generowany przez polecenie \pi.
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
równanie z parametrem
Trzeba być ostrożnym przy przekształcaniu wyrażeń z logarytmami.
Przekształćmy dane równanie równoważnie. Mamy kolejno
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{1}{2}\log m^2}\);
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x=\log\sqrt{m^2}}\);
\(\displaystyle{ \cos(x-\frac{\pi}{3})=\log|m|}\).
Mamy wobec tego \(\displaystyle{ |m|>0}\) oraz \(\displaystyle{ -1\le\log|m|\le 1}\).
Stąd \(\displaystyle{ m\ne 0}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{10}\le|m|\le 10}\), więc ostatecznie dostajemy \(\displaystyle{ m\in[-10,-\frac{1}{10}]\cup[\frac{1}{10},10]}\).
Przekształćmy dane równanie równoważnie. Mamy kolejno
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{1}{2}\log m^2}\);
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x=\log\sqrt{m^2}}\);
\(\displaystyle{ \cos(x-\frac{\pi}{3})=\log|m|}\).
Mamy wobec tego \(\displaystyle{ |m|>0}\) oraz \(\displaystyle{ -1\le\log|m|\le 1}\).
Stąd \(\displaystyle{ m\ne 0}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{10}\le|m|\le 10}\), więc ostatecznie dostajemy \(\displaystyle{ m\in[-10,-\frac{1}{10}]\cup[\frac{1}{10},10]}\).