Zbiorem wszytkich \(\displaystyle{ m \in\mathbb{R}}\), dla których równanie \(\displaystyle{ \sin x + \sin ^ 2x + \sin ^ 3x + \ldots = m -1}\) ma rozwiązanie, jest ??
Prosze o pomoc w rozwiazaniu.
wyznacz zbiór
-
Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
wyznacz zbiór
Lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym \(\displaystyle{ a_{1}= \sin x}\) oraz \(\displaystyle{ q= \sin x}\) więc suma ta będzie wyglądać tak \(\displaystyle{ \frac{ \sin x }{1- \sin x }=m-1}\) pozostało Ci do rozwiązania proste równanie trygonometryczne.
-
bolo
- Użytkownik
- Posty: 2470
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
wyznacz zbiór
Należy przyjąć, że lewa strona to szereg geometryczny zbieżny, więc \(\displaystyle{ \sin x \neq 1\,\,\vee\,\, \sin x \neq -1}\). Więc obiektem naszych badań będzie równanie:
\(\displaystyle{ \frac{ \sin x }{1- \sin x }=m-1}\)
Po małej zabawie mamy: \(\displaystyle{ m=\frac{1}{1- \sin x }}\)
\(\displaystyle{ 1- \sin x \in \left( 0;2 \right) \\ \frac{1}{1- \sin x }\in \left( \frac{1}{2};\infty \right)}\)
Rozwiązanie: \(\displaystyle{ m\in \left( \frac{1}{2};\infty \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sin x }{1- \sin x }=m-1}\)
Po małej zabawie mamy: \(\displaystyle{ m=\frac{1}{1- \sin x }}\)
\(\displaystyle{ 1- \sin x \in \left( 0;2 \right) \\ \frac{1}{1- \sin x }\in \left( \frac{1}{2};\infty \right)}\)
Rozwiązanie: \(\displaystyle{ m\in \left( \frac{1}{2};\infty \right)}\)