znajac cos(x) oblicz ctg(2x)

[honey91]

\(\displaystyle{ cos x = \frac{1}{4} ( \sqrt{6} - \sqrt{2})}\)

oblicz \(\displaystyle{ ctg 2x}\)

cos zaczelam ale nie wiem czy dobra drogą poszlam, prosze o wskazowki.

wiemy ze \(\displaystyle{ ctg 2x = \frac{ctg^2x - 1}{2ctgx}}\)

\(\displaystyle{ cos ^2 x = \frac{4- \sqrt{12} }{8}}\)

\(\displaystyle{ sin ^2 x = \frac{4+ \sqrt{12} }{8}}\)

\(\displaystyle{ ctg^2 x = \frac{sin^2 x}{cos^2 x}}\)

\(\displaystyle{ ctg^2 x = \frac{4 + \sqrt{12} }{4- \sqrt{12} }}\)

co moge dalej zrobic?

[Sherlock]

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ ctg2x= \frac{cos2x}{sin2x}= \frac{cos^2x-sin^2x}{2sinxcosx}= \frac{2cos^2x-1}{2sinxcosx}}\)
Pozostaje z jedynki wyliczyć sinus - wyjdą dwie wartości sinusa (dodatnia lub ujemna) chyba, że wiesz do której ćwiartki należy kąt x (I czy IV, bo tam cosinus jest dodatni)?

[honey91]

no tak, wiec licznik tego ulamka \(\displaystyle{ 2cos^2x-1 = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ sin^2 x = \frac{4+ \sqrt{12} }{8}}\)
\(\displaystyle{ sinx = +- \sqrt{ \frac{4+ \sqrt{12} }{8} }}\)

no i liczenie \(\displaystyle{ 2sinx cosx}\)teraz jest małym problemem...

[Sherlock]

\(\displaystyle{ sin^2 x = \frac{4+ \sqrt{12} }{8}= \frac{2+\sqrt{3} }{4}}\)
\(\displaystyle{ sinx= \pm \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{3} } }{2}}\)

no i liczenie 2sinx cosxteraz jest małym problemem...

co zrobić, takie zadanie...

[Lorek]

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\)
tak poza tym
\(\displaystyle{ \cos x= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \iff x = \pm\frac{5\pi}{12}+2k\pi}\)

[honey91]

ok, dzięki, rozwiązałam to swoją pierwszą metodą korzystając z wzoru na ctg podwojonego kąta.

Wyszło \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) w 1 cwiartce i \(\displaystyle{ -\sqrt{3}}\) w 4 cwiartce